Enunciado

Exercs. 19-40: Determine se a sequência converge ou diverge.

Passo 1

Falaaa, como vai?? Neste exercício vamos usar o teste da razão, irei detalhar ele abaixo:

L = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Agora, temos 3 condições para conseguirmos definir a convergência.

Se L < 1 , então a série é convergente.

Se L > 1 , a série é divergente.

E por fim, se L = 1 o teste será dado como inconclusivo. Bora para o exemplo!!!

Passo 2

O a n do exemplo é:

a n = n ! 2 2 n !

Então, temos o seguinte.

a n + 1 a n = n + 1 ! n + 1 ! 2 n + 2 ! .   2 n ! n ! n !

Usando n + 1 ! n ! = ( n + 1 ) .

a n + 1 a n = n + 1 2 2 n ! 2 n + 2 !

Usando 2 n ! 2 n + 2 ! = 1 2 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) .

a n + 1 a n = n + 1 2 2 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

a n + 1 a n = n + 1 4 n + 2

Colocando no limite.

1 2 lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n + 1

1 2 lim n → ∞ ⁡ n 1 + 1 n n 2 + 1 n

1 2   lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 / n 2 + 1 / n

1 2   lim n → ∞ ⁡ 1 2

L = 1 4

Então, como L < 1 a série converge.

Resposta

A série converge.