Exercs. 19-40: Determine se a sequência converge ou diverge.

Passo 1

Falaaa, como vai?? Neste exercício vamos usar o teste da razão, irei detalhar ele abaixo:

L = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Agora, temos 3 condições para conseguirmos definir a convergência.

Se L < 1 , então a série é convergente.

Se L > 1 , a série é divergente.

E por fim, se L = 1 o teste será dado como inconclusivo. Bora para o exemplo!!!

Passo 2

O a n do exemplo é:

a n = 2 n 3 + e n

Então, temos o seguinte.

a n + 1 a n = 2 n + 1 3 + e n + 1 .   n 3 + e n 2

Simplificando.

a n + 1 a n = n 3 + e n n + 1 3 + e n + 1

Colocando no limite.

lim n → ∞ ⁡ n 3 + e n n + 1 3 + e n + 1

Agora, vamos aplicar a regra de L’Hopital 4 vezes seguidas.

lim n → ∞ ⁡ 3 n 2 + e n 3 n + 1 2 + e n + 1

lim n → ∞ ⁡ 6 n + e n 6 ( n + 1 ) + e n + 1

lim n → ∞ ⁡ 6 + e n 6 + e n + 1

lim n → ∞ ⁡ e n e n + 1

Pronto, agora já podemos visualizar a resposta do nosso limite.

lim n → ∞ ⁡ 1 e

L = 1 e

Então, como L < 1 a série converge.

Resposta

A série converge.