Enunciado

Exercs. 19-40: Determine se a sequência converge ou diverge.

Passo 1

Falaaa, como vai?? Neste exercício vamos usar o teste da razão, irei detalhar ele abaixo:

L = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Agora, temos 3 condições para conseguirmos definir a convergência.

Se L < 1 , então a série é convergente.

Se L > 1 , a série é divergente.

E por fim, se L = 1 o teste será dado como inconclusivo. Bora para o exemplo!!!

Passo 2

O a n do exemplo é:

a n = 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙   ∙ ∙ ∙   ∙ ( 3 n - 2 ) 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙   ∙ ∙ ∙   ∙ ( 2 n )

E o a n + 1 :

a n + 1 = 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙   ∙ ∙ ∙   ∙ ( 3 n - 2 ) ( 3 n + 1 ) 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙   ∙ ∙ ∙   ∙ ( 2 n ) ( 2 n + 2 )

Então, temos o seguinte.

a n + 1 a n = ( 3 n - 2 ) ( 3 n + 1 ) ( 2 n ) ( 2 n + 2 ) .   ( 2 n ) ( 3 n - 2 )

a n + 1 a n = 3 n + 1 2 n + 2

Colocando no limite.

lim n → ∞ ⁡ 3 n + 1 2 n + 2

lim n → ∞ ⁡ n 3 + 1 n n 2 + 2 n

  lim n → ∞ ⁡ 3 + 1 / n 2 + 2 / n

lim n → ∞ ⁡ 3 2

L = 3 2

Então, como L > 1 a série diverge.

Resposta

A série diverge.