Exercs. 19-40: Determine se a sequência converge ou diverge.

Passo 1

Falaaa, como vai?? Neste exercício vamos usar o teste da razão, irei detalhar ele abaixo:

L = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Agora, temos 3 condições para conseguirmos definir a convergência.

Se L < 1 , então a série é convergente.

Se L > 1 , a série é divergente.

E por fim, se L = 1 o teste será dado como inconclusivo. Bora para o exemplo!!!

Passo 2

O a n do exemplo é:

a n = 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙   ∙ ∙ ∙   ∙ ( 2 n - 1 ) n !

E o a n + 1 :

a n + 1 = 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙   ∙ ∙ ∙   ∙ ( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 ) ( n + 1 ) !

Então, temos o seguinte.

a n + 1 a n = ( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 ) n + 1 ! .   n ! ( 2 n - 1 ) !

Usando n ! ( n + 1 ) ! = 1 n + 1 .

a n + 1 a n = 2 n + 1 n + 1

Colocando no limite.

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 n + 1

lim n → ∞ ⁡ n 2 + 1 n n 1 + 1 n

  lim n → ∞ ⁡ 2 + 1 / n 1 + 1 / n

lim n → ∞ ⁡ 2

L = 2

Então, como L > 1 a série diverge.

Resposta

A série diverge.