Exercs. 19-40: Determine se a sequência converge ou diverge.

Passo 1

Falaaa, como vai?? Neste exercício vamos usar o teste da razão, irei detalhar ele abaixo:

L = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Agora, temos 3 condições para conseguirmos definir a convergência.

Se L < 1 , então a série é convergente.

Se L > 1 , a série é divergente.

E por fim, se L = 1 o teste será dado como inconclusivo. Bora para o exemplo!!!

Passo 2

O a n do exemplo é:

a n = 2 n n n !

Então, temos o seguinte.

a n + 1 a n = 2 n + 1 n + 1 n + 1 ! 2 n n n !

Usando propriedade n + 1 ! n ! = ( n + 1 )

a n + 1 a n = 2 n + 1 n + 1 n + 1 2 n n

a n + 1 a n = 2 n + 1 n + 1 n + 1 n + 1 n n 2 n

a n + 1 a n = 2 n n n + 1 n

Colocando no limite.

lim n → ∞ ⁡ 2 n n n + 1 n

2 lim n → ∞ ⁡ n n n + 1 n

2 lim n → ∞ ⁡ n n + 1 n

Usando propriedade dos limites: lim x → ∞ ⁡ x x + k x = e - k

L = 2 e

Então, como L < 1 a série converge.

Resposta

A série converge.