Explique em cada caso porque não existe uma TL:

(b )   T   :   R 4 →   R 4 que seja sobrejetiva com um autovalor igual a 0;

Passo 1

E vamos pra mais uma questão!!

A primeira coisa é entender que a gente tem uma transformação linear de dimensão 4, na qual segundo trata-se de uma sobrejetiva com um autovalor igual a 0.

O que seria essa tal de função sobrejetiva?

Sobrejetiva é aquela cujo a dimensão da imagem é igual a dimensão do contradomínio. Então, isso quer dizer que se quando temos uma transformação linear R 4 →   R 4       , temos:

Passo 2

Nessa condição se a gente usa como base o Teorema do Núcleo e da Imagem, podemos aplicar essas dimensões na fórmula

Dim(Núcleo(T)+dim(Imagem(T)=n

Então...

Dim(Núcleo(T) = 3-3 =0

Ó aqui a gente conseguiu uma informação interessante, pois quando o núcleo tem dimensão 0, de acordo com o teorema, a função é sobrejetiva e injetiva ao mesmo tempo!! Guarda essa malandragem, sabe por quê? O comando da questão disse que 0 é um autovalor, maaaas, se lembrarmos do teorema, uma função injetiva NUNQUINHA na vida pode ter autovalor zerado. Portanto, não existe uma transformação linear que satisfaça as comdições do comando!!

Prontinho, manda aí a próxima questão ☺

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)