Expresse cada uma das matrizes seguintes como um produto de matrizes elementares

D = 1 2 0 0 1 3 3 8 7

Passo 1

Oii gente!

Ó, aqui queremos escrever a matriz como a multiplicação de matrizes elementares. Para isso, vamos fazer o seguinte:

1) Fazer operações na matriz até que ela se torne a matriz identidade

2) Anotar essas operações

3) Encontrar as matrizes elementares utilizando essas operações elementares, assim como fizemos no exercício 65-a

Então vamos?

Passo 2

Temos a matriz

D = 1 2 0 0 1 3 3 8 7

Primeiramente, vamos fazer essa matriz se tornar a matriz identidade

Vamos começar fazendo R 3 → R 3 - 3 R 1

1 2 0 0 1 3 0 2 7

Agora vamos fazer R 1 → R 1 - 2 R 2 e R 3 → R 3 - 2 R 2

1 0 - 6 0 1 3 0 0 1

Por fim, vamos fazer R 1 → R 1 + 6 R 3 e R 2 → R 2 - 3 R 3

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Show! Chegamos na matriz identidade, agora vamos encontrar as matrizes elementares utilizando as operações que fizemos nesse passo

Passo 3

As operações elementares que utilizamos foram:

e 1 :   R 3 → R 3 - 3 R 1

e 2 :   R 1 → R 1 - 2 R 2 e R 3 → R 3 - 2 R 2

e 3 :   R 1 → R 1 + 6 R 3 e R 2 → R 2 - 3 R 3

Então vamos aplicar cada uma dessas operações na matriz identidade para encontrarmos as matrizes elementares E 1 , E 2 , E 3 😉

Passo 4

e 1 :   R 3 → R 3 - 3 R 1

Partindo da matriz identidade:

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Fazendo a terceira linha receber R 3 - 3 R 1 , temos

E 1 = 1 0 0 0 1 0 - 3 0 1

Passo 5

e 2 :   R 1 → R 1 - 2 R 2 e R 3 → R 3 - 2 R 2

Partindo da matriz identidade:

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Fazendo a operação e 2 :

E 2 = 1 - 2 0 0 1 0 0 - 2 1

Passo 6

e 3 :   R 1 → R 1 + 6 R 3 e R 2 → R 2 - 3 R 3

Partindo da matriz identidade:

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Fazendo a operação e 3 :

E 3 = 1 0 6 0 1 - 3 0 0 1

E então encontramos as nossas matrizes elementares :D

Resposta

1 2 0 0 1 3 3 8 7 = 1 0 0 0 1 0 - 3 0 1 . 1 - 2 0 0 1 0 0 - 2 1 . 1 0 6 0 1 - 3 0 0 1