Expresse cada uma das matrizes seguintes como um produto de matrizes elementares

A = 1 2 3 4

Passo 1

Oii gente!

Ó, aqui queremos escrever a matriz como a multiplicação de matrizes elementares. Para isso, vamos fazer o seguinte:

1) Fazer operações na matriz até que ela se torne a matriz identidade

2) Anotar essas operações

3) Encontrar as matrizes elementares utilizando essas operações elementares, assim como fizemos no exercício 65-a

Então vamos?

Passo 2

Temos a matriz

A = 1 2 3 4

Primeiramente, vamos fazer essa matriz se tornar a matriz identidade

Vamos começar fazendo R 2 → R 2 - 3 R 1

1 2 0 - 2

Agora vamos fazer R 2 → R 2 - 2 , porque assim já conseguimos deixar a segunda linha igual a da matriz identidade

1 2 0 1

Agora falta a primeira linha ser 1   0

Para isso, vamos fazer R 1 → R 1 - 2 R 2

1 0 0 1

Show! Chegamos na matriz identidade, agora vamos encontrar as matrizes elementares utilizando as operações que fizemos nesse passo

Passo 3

As operações elementares que utilizamos foram:

e 1 :   R 2 → R 2 - 3 R 1

e 2 :   R 2 → R 2 - 2

e 3 :   R 1 → R 1 - 2 R 2

Então vamos aplicar cada uma dessas operações na matriz identidade para encontrarmos as matrizes elementares E 1 , E 2 , E 3 😉

Passo 4

e 1 :   R 2 → R 2 - 3 R 1

Partindo da matriz identidade:

I = 1 0 0 1

Fazendo a segunda linha receber R 2 - 3 R 1 , temos

E 1 = 1 0 - 3 1

Passo 5

e 2 :   R 2 → - R 2 2

Partindo da matriz identidade:

I = 1 0 0 1

Dividindo a segunda linha por -2:

E 2 = 1 0 0 - 1 2

Passo 6

e 3 :   R 1 → R 1 - 2 R 2

Partindo da matriz identidade:

I = 1 0 0 1

Fazendo a primeira linha receber R 1 - 2 R 2

E 3 = 1 - 2 0 1

E encontramos as matrizes elementares hehehe

Resposta

1 2 3 4 = 1 0 - 3 1 . 1 0 0 - 1 2 . 1 - 2 0 1