Um fabricante produz reveladores de filme de 2 minutos, 6 minutos e 9 minutos. Cada tonelada do revelador de 2 minutos precisa de 6 minutos no setor A e 24 minutos no setor B. Cada tonelada do revelador de 6 minutos precisa de 12 minutos no setor A e 12 minutos no setor B. Cada tonelada de revelador de 9 minutos precisa de 12 minutos no setor A e 12 minutos no setor B. Se o setor A está disponível 10 horas por dia e o setor B está disponível 16 horas por dia, quantas toneladas de cada tipo de revelador podem ser produzidas tal que os setores não fiquem ociosos?

Passo 1

E aí pessoal, belezinha. Vamos agora trabalhar em algumas questões de sistemas lineares.

O entendimento do enunciado para a escrita correta das equações lineares em problemas de planejamento da produção é a etapa crucial do problema. Baseando-se no exemplo 7 desta seção vamos escrever as equações lineares do exercício a resolver. Assumindo que x1, x2 e x3 são toneladas dos reveladores de filmes de minutagem crescente, respectivamente, teremos:

O número de minutos no setor A

6 x 1 + 12 x 2 + 12 x 3 = 600

O número de minutos no setor B

24 x 1 + 1 2 x 2 + 12 x 3 = 960

Passo 2

O sistema obtido é dado por:

6 x 1 + 12 x 2 + 12 x 3 = 600 24 x 1 + 12 x 2 + 12 x 3 = 960

Que pode ser simplificado ao dividirmos a primeira equação por 6, e a segunda equação por 12:

x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 1 00   ( I ) 2 x 1 + x 2 + x 3 = 80     ( I I )

Temos um sistema possível indeterminado, por termos três variáveis e apenas duas equações. Dessa forma, daremos as respostas de x1 e x2 em função de x3, e depois analisaremos a situação. Escalonando o sistema faremos:

I I - 2 I : 2 x 1 + x 2 + x 3 = 8 0 - 2 x 1 - 4 x 2 - 4 x 3 = - 200 = > - 3 x 2 - 3 x 3 = - 120 = > x 2 + x 3 = 4 0

Reescrevendo o sistema temos:

x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 100                           x 2 + x 3 = 4 0 = > x 1 + 2 x 2 = 100 - 2 x 3                           x 2 = 40 - x 3            

Resolvendo o sistema, substituindo o valor de x2 na primeira equação:

x 1 + 2 x 2 = 100 - 2 x 3 = > x 1 + 2 40 - x 3 = 100 - 2 x 3

= > x 1 + 8 0 - 2 x 3 = 100 - 2 x 3 = > x 1 + 80 = 100 = > x 1 = 20

Dessa forma temos que x1 = 20 e x2 = 40 – x3.

A solução indeterminada é dada por:

S = ( 20,40 - x 3 , x 3 )

Podemos escolher um valor apropriado para x3, e a partir desse, determinamos o valor de x2. Usando x3 = 20, temos que x2 = 40 – 20 = 20, e uma das soluções fica:

S = ( 20,20,20 )

Resposta

Ver passo a passo.