Faça uma figura, ilustrando as igualdades:

  1. vec A P = - (3)/(5) vec A B ;
  2. 2 vec P Q = 5 vec Q R ;
  3. 2 vec A X + 3 vec B X = 5 vec A B .

Passo 1

  1. Vamos começar reescrevendo essa equação:
  2. vec A P = - (3)/(5) vec A B = (3)/(5) vec B A

    Isso quer dizer que o vetor vec A P , que tem origem em A e termina em P, tem três quintos do tamanho do vetor vec B A , que começa em B e termina em A. Então, a origem de vec A P é justamente o ponto final de vec B A . Se escolhermos vec | B A | = 5 , então | vec A P | = 3 .

    Passo 2

  3. Novamente, vamos reescrever a equação
  4. 2 vec P Q = 5 vec Q R => vec P Q = (5)/(2) vec Q R

    Então, vec P Q é um vetor que vai de P a Q com Q sendo a origem do vetor vec Q R e o tamanho do primeiro vetor é cinco meios o tamanho do segundo. Dessa vez, podemos escolher | vec Q R | = 2 de modo que | vec P Q | = 5 .

    Passo 3

  5. Aqui a visualização fica mais simples se a gente fizer umas modificações na equação:

2 vec A X + 3 vec B X = 5 vec A B

=> 2 vec A X = 5 vec A B - 3 vec B X = 5 vec A B + 3 vec X B

Aqui, vec A B e vec X B tem o mesmo ponto final e estão sendo somados, então A e X estão em lados opostos em relação a B. Por outro lado, usando as regras de soma vetorial, podemos escrever

vec A X = vec A B + vec B X = vec A B - vec X B

Vamos substituir esse resultado em

2 vec A X = 5 vec A B + 3 vec X B => 2 vec A B - 2 vec X B = 5 vec A B + 3 vec X B

=> - 3 vec A B = 5 vec X B => vec A B = - (5)/(3) vec X B

Agora, voltando a primeira relação, obtemos

2 vec A X = 5 vec A B + 3 vec X B = - (25)/(3) vec X B + 3 vec X B = - (16)/(3) vec X B

vec A X = - (8)/(3) vec X B

Então, podemos escolher | vec X B | = 3 para que | vec A X | = 8 . O desenho vai ficar mais ou menos assim:

Resposta

Veja a resolução acima.