Faça o gráfico de f x = sin ⁡ π x em [ 0 ,   2 ] .

(a) Use o gráfico para estimar o coeficiente angular da tangente em P ( 1,4 ; f 1,4 ) .

(b) Use a Definição ( 3.1 ) com h = ± 0,0001 para obter uma aproximação do coeficiente angular em (a)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! Vê só, para plotarmos o gráfico solicitado, vamos precisar usar um sistema computacional. Depois, vamos ter que fazer algo por conta própria para podermos fazer nossa estimativa. Finalmente, vamos usar a Definição sugerida e fazermos as contas.

Passo 2

Vamos começar plotando o gráfico pedido:

Nele, já destacamos o ponto de estimativa e os pontos x = 0,3 ; x = 0,4   e x = 0,5 . Eles serão úteis no traçado da tangente.

Uma vez que temos o gráfico, vamos traçar a reta:

Aplicando um superzoom, fizemos nossa estimativa. No eixo x , temos 0,7 + 0,4 = 1,1 . No eixo y temos - 0,95 . Assim, nossa estimativa será

tan ⁡ θ = c a t   o p c a t   a d j = y x = - 0,95 1,1

∴ tan ⁡ θ = - 0,86

Passo 3

A Definição 3.1 é dada por

m a = lim h → 0 ⁡ f a + h - f ( a ) h

Com h = ± 0,0001 , vamos ter

m a = lim h → 0 ⁡ sin ⁡ π - 0,0001 - s i n ⁡ ( π ) - 0,0001 = - 0,999

e

m a = lim h → 0 ⁡ sin ⁡ π + 0,0001 - s i n ⁡ ( π ) 0,0001 = - 0,999

Lembrando que para conseguirmos esses resultados, nossa calculadora precisa estar em radianos, ok?

Assim, terminamos a questão e podemos perceber que nossa estimativa diferiu pouco em relação ao valor correto. Mas lembrem-se que isso foi uma estimativa. Softwares fazem isso com um alto grau de confiabilidade.

Resposta

a)

tan ⁡ θ = - 0,86   (Resposta pessoal)

b)

m a = - 0,999