A famosa sequência de Fibonacci é definida pela recorrência a k + 1 = a k + a k - 1 com a 1 = a 2 = 1 .

c) Supondo que l i m n → ∞ r n = τ , prove que

τ = 1 2 ( 1 + 5 )

Passo 1

Para a última alternativa vamos utilizar em conjunto ambas as sequências definidas neste problema, tanto Fibonacci quanto a razão áurea, e aplicar assim o limite pedido, belezinha?

Passo 2

Primeiro vamos analisar a afirmação dada no enunciado, em que:

l i m n → ∞ r n = l i m n → ∞ a k + 1 a k = τ

Essa expressão pode ser reescrita usando a definição da sequência de fibonacci como:

l i m n → ∞ a k + a k + 1 a k = 1 + l i m n → ∞ a k + 1 a k = 1 + 1 τ = τ

Agora temos que utilizar Bhaskara nesta relação, belezinha?

Passo 3

Bora lá! Note que:

τ + 1 = τ 2 → τ 2 - τ - 1 = 0

Aplicando bhaskara, temos:

τ ± = 1 ± 1 - 4 × 1 × ( - 1 ) 2 × 1 = 1 2 ( 1 ± 5 )

O valor positivo é a raiz que queríamos demonstrar, te vejo na próxima questão!! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo do Passo 3.