Fazendo o mínimo necessário de contas, diga se são bases de R 3 :

Passo 1

Salve, aluno do Responde Aí! Topa destruir essa questão?

Olha só, o primeiro passo para sabermos se uma matriz é base de R 3 é provar que ela é Linearmente Independente (LI), começamos arrumando os termos da seguinte forma:

  1. Organizamos os termos em forma de matriz e escalonamos:
  2. Uma forma bem fácil de resolver a partir daqui é relembrar do Teorema de Rouché-Frobenius sobre Posto, a ideia é o seguinte, pega a matriz e comparar com a matriz escalonada obtida, respectivamente:

    Confere que a classificação do posto da matriz é igual ao número de linhas não-nulas. Nesse caso, a matriz inicial tem posto=2 e a escolanada também, porém não é igual ao número de incógnitas (x,y,x). Ou seja, o sistema é compatível e indeterminado (existem infinitas soluções), com mais de uma solução e, portanto, não é linearmente independente e nem base!

    Passo 2

  3. Faremos o mesmo processo da letra A, então, vamos organizar a matriz e escalonar:
  4. Comparando o posto, a matriz inicial tem posto=2 e a matriz escalonada também tem posto=2, porém não é igual ao número de incógnitas (x,y,x). Ou seja, o sistema é compatível e indeterminado (existem infinitas soluções), com mais de uma solução e, portanto, não é linearmente independente e nem base!

    Passo 3

  5. Faremos o mesmo processo da letra A, então, vamos organizar a matriz e escalonar:
  6. Se você prestar atenção, a matriz escalonada gera um sistema de fácil resolução, olha só:

    { x 1 + x 2 + x 3 = 0   x 2 + 2 x 3 = 0   4 x 3 = 0   ou seja { x 1 = 0   x 2 = 0   x 3 = 0  

    Sendo x 1 = x 2 = x 3 , então a solução é ÚNICA e portanto Linearmente Independente e base de R 3 .

    Passo 4

  7. Faremos o mesmo processo da letra A, então, vamos organizar a matriz e escalonar:

Sabendo que a matriz escalonada também tem posto=2, porém não é igual ao número de incógnitas (x,y,x). Ou seja, o sistema é compatível e indeterminado (existem infinitas soluções), com mais de uma solução e, portanto, não é linearmente independente e nem base!

Resposta

  1. Não é base ; b)Não é base ; c) é Base ; d) Não é base