Sem fazer contas, determine se os sistemas abaixo possuem uma única, nenhuma ou infinitas soluções:

a) x + y = 1 2 x + 2 y = 2

b) x + y = 1 2 x - 3 y = 2

c) x + y = 1 2 x + 2 y = 3

Passo 1

E aí, galera, tudo certo? Vamos resolver mais um!!!

Pensando geometricamente, cada equação em um sistema em R 2 pode ser visto como uma reta. No caso de um sistema de duas equações, temos 3 opções para as soluções:

1- O sistema é composto por duas retas coincidentes, de forma que todos os pontos dessa reta são uma solução para o sistema, ou seja, temos infinitas soluções;

2- O sistema é composto por duas retas concorrentes, dessa forma temos uma solução única;

3- As retas são paralelas, mas não coincidentes, sendo assim as retas não se cruzam em nenhum ponto, de forma que o sistema não possui solução;

Com a teoria em mente, vamos aos itens!!!

Passo 2

a) Como x + y = 1 ⇔ 2 x + 2 y = 2 , pois a segunda equação é obtida multiplicando a primeira por 2 , temos que as duas equações representam a mesma reta, ou seja, o sistema em questão possui infinitas soluções.

b) A reta x + y = 1 pode ser dada por y = - x + 1 e a reta 2 x - 3 y = 2 pode ser dada por y = 2 3 x - 2 3 , ou seja, as duas retas possuem coeficientes angulares diferentes, de modo que são concorrentes, e assim o sistema possui solução única.

c) A reta x + y = 1 pode ser dada por y = - x + 1 e a reta 2 x + 2 y = 3 pode ser dada por y = - x + 3 2 , ou seja, as retas possuem coeficientes angulares iguais, de modo que são paralelas, mas não são coincidentes, donde concluímos que o sistema em questão não possui nenhuma solução.

Resposta

a) Infinitas soluções.

b) Solução única.

c) Nenhuma solução.