Sem fazer contas, discuta a existência e a unicidade de solução dos sistemas abaixo. No caso de infinitas soluções, determine ainda o número de variáveis livres:
a)
b)
c)
Passo 1
E aí, pessoal, tudo certo? Vamos resolver mais um!!!
Sejam a matriz de coeficientes e a matriz estendida referente a um determinado sistema linear. Lembrando que a definição de posto de uma matriz diz respeito ao total de linhas não nulas dessa matriz na forma escalonada, temos que o número de soluções do sistema é definido da seguinte maneira:
1- Se o sistema não possui nenhuma solução, pois teremos uma equação degenerada (equação da forma ). No caso de um sistema homogêneo sempre temos , pois a coluna extra que a matriz tem em relação a matriz é composta apenas por zeros, e continuará sendo nula após todas as operações feitas sobre a matriz original até chegar na matriz escalonada.
2- Se e o sistema possuirá uma única solução, pois ele não possuirá variáveis livres (o número de variáveis livres do sistema é definido como ).
3- Se e o sistema possuirá infinitas soluções, pois ele possuirá pelo menos uma variável livre.
Após esse embasamento teórico, vamos verificar a veracidade dos itens.
Passo 2
a) Como e , concluímos pelo item (2) do Passo 1, que o sistema em questão possui uma única solução.
b) Como , concluímos pelo item (1) do Passo 1, que o sistema em questão não possui nenhuma solução.
c) Como e , concluímos por (3) que o sistema possui infinitas soluções e que o seu número de variáveis livres é igual a .
Resposta
a) Solução única.
b) Nenhuma solução.
c) Infinitas soluções (uma variável livre).