Sem fazer contas, discuta a existência e a unicidade de solução dos sistemas abaixo. No caso de infinitas soluções, determine ainda o número de variáveis livres:

a) 1 4 6 | 2 0 2 5 | 2 0 0 3 | 1 0 0 0 | 0

b) 1 4 6 | 2 0 2 5 | 2 0 0 3 | 1 0 0 0 | 1

c) 0 1 0 | 2 0 0 1 | 2

Passo 1

E aí, pessoal, tudo certo? Vamos resolver mais um!!!

Sejam A a matriz de coeficientes e B a matriz estendida referente a um determinado sistema linear. Lembrando que a definição de posto de uma matriz diz respeito ao total de linhas não nulas dessa matriz na forma escalonada, temos que o número de soluções do sistema é definido da seguinte maneira:

1- Se p o s t o A < p o s t o ( B ) o sistema não possui nenhuma solução, pois teremos uma equação degenerada (equação da forma 0 x + 0 y + 0 z = 1 ). No caso de um sistema homogêneo sempre temos p o s t o A = p o s t o ( B ) , pois a coluna extra que a matriz B tem em relação a matriz A é composta apenas por zeros, e continuará sendo nula após todas as operações feitas sobre a matriz original até chegar na matriz escalonada.

2- Se p o s t o A = p o s t o ( B ) e p o s t o A = ( n º   d e   v a r i á v e i s   d o   s i s t e m a ) o sistema possuirá uma única solução, pois ele não possuirá variáveis livres (o número de variáveis livres do sistema é definido como n º   d e   v a r i á v e i s   d o   s i s t e m a - p o s t o ( A ) ).

3- Se p o s t o A = p o s t o ( B ) e p o s t o A < ( n º   d e   v a r i á v e i s   d o   s i s t e m a ) o sistema possuirá infinitas soluções, pois ele possuirá pelo menos uma variável livre.

Após esse embasamento teórico, vamos verificar a veracidade dos itens.

Passo 2

a) Como p o s t o A = p o s t o B = 3 e p o s t o A = n º   d e   v a r i á v e i s   d o   s i s t e m a = 3 , concluímos pelo item (2) do Passo 1, que o sistema em questão possui uma única solução.

b) Como 3 =   p o s t o A < p o s t o B = 4 , concluímos pelo item (1) do Passo 1, que o sistema em questão não possui nenhuma solução.

c) Como p o s t o A = p o s t o B = 2 e p o s t o A < n º   d e   v a r i á v e i s   d o   s i s t e m a = 3 , concluímos por (3) que o sistema possui infinitas soluções e que o seu número de variáveis livres é igual a n º   d e   v a r i á v e i s   d o   s i s t e m a - p o s t o A = 3 - 2 = 1 .

Resposta

a) Solução única.

b) Nenhuma solução.

c) Infinitas soluções (uma variável livre).