Na figura estão dois hexágonos regulares. A B →   =   m → , A C →   =   n → e B D →   = p → .

  1. Escreva m → , n → e p → como combinação linear de a → e b → .
  2. Usando a parte a) e não mais a figura,escreva a → e b → como combinação linear de m → e n → .
  3. Escreva p → como combinação linear de m → e n → .

Passo 1

  1. Para ficar mais simples de entender, colocamos alguns pontos extras na figura ( O , R , S ). Assim, vemos que   m → = A B →   pode ser obtido pelo caminho
  2.   m → = A B → = A O → + O B →  

    De forma similar, podemos obter

      n → = A C →   = A R →   + R C →  

    p → = B D → = B S → + S D →

    Como o hexágono é regular, todos os seus lados são iguais. Assim, fica fácil de identificar que O B → = 2 a → , R C → = a → , B S → = b → e S D → = - 2 a → . Agora, só falta a gente descobrir A O → e A R → = 3 A O → . Usando soma de vetores, podemos escrever A O → = a → + b → . Então A R → = 3 ( a → + b → ) . Usando todas essas informações, ficamos com

      m → = A B → = A O → + O B →   = a → + b → + 2 a → = 3 a → + b →

      n → = A C →   = A R →   + R C → = 3 ( a → + b → ) + a → = 4 a → + 3 b →  

    p → = B D → = B S → + S D → = b → - 2 a →

    Passo 2

  3. Para escrever a → e b → como combinação linear de m → e n → , basta fazermos
  4. a → = α m → + β n → = α ( 3 a → + b → ) + β ( 4 a → + 3 b → ) = ( 3 α + 4 β ) a → + ( α + 3 β   ) b →

    b → = γ m → + λ n → = γ ( 3 a → + b → ) + λ ( 4 a → + 3 b → ) = ( 3 γ + 4 λ ) a → + ( γ + 3 λ   ) b →

    Assim, comparando o lado esquerdo com o direito nas duas equações acima, obtemos

    α + 3 β = 0 ⇒ α = - 3 β

    3 α + 4 β = 1 ⇒ - 9 β + 4 β = 1 ⇒ β = - 1 5

    ⇒ α = - 3 β = 3 5

    3 γ + 4 λ = 0 ⇒ γ = - 4 3 λ

    γ + 3 λ = 1 ⇒ - 4 3 λ + 3 λ = 1 ⇒ 5 3 λ = 1 ⇒ λ = 3 5

    ⇒ γ = - 4 3 λ = - 4 5

    Agora, podemos substituir esses valores para obter a → e b → como combinação linear de m → e n → :

    a → = α m → + β n → = 3 5 m → - 1 5 n →

    b → = - 4 5 m → + 3 5 n →

    Passo 3

  5. Agora vamos seguir o mesmo raciocínio para escrever p → como combinação linear de m → e n →

p → = η m → + σ n →

⇒ b → - 2 a → = η ( 3 a → + b → ) + σ ( 4 a → + 3 b →   ) = ( 3 η + 4 σ ) a → + ( η + 3 σ ) b →

Comparando o lado esquerdo e o lado direito da equação acima, concluímos que

3 η + 4 σ = - 2

η + 3 σ = 1

Vamos multiplicar a segunda equação por - 3 e somar com a primeira

4 σ - 9 σ = - 2 - 3 ⇒ 5 σ = 5 ⇒ σ = 1

Vamos substituir σ = 1 na primeira equação:

3 η + 4 σ = - 2 ⇒ 3 η + 4 = - 2 ⇒ 3 η = - 6 ⇒ η = - 2

Logo,

p → = η m → + σ n → = - 2 m → + n →

Resposta

  1.   m → = 3 a → + b → ,   n → = 4 a → + 3 b →   e p → = b → - 2 a →
  2. a → = 3 5 m → - 1 5 n → , b → = - 4 5 m → + 3 5 n →
  3. p → = - 2 m → + n →