A figura é o gráfico de uma função f um-a-um

  1. Use a reflexão para traçar o gráfico de f - 1 .
  2. Ache o domínio e o contradomínio de f .
  3. Ache o domínio e o contradomínio de f - 1 .

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com funções inversas e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão do que é essa tal “função inversa”.

Para que uma função admita uma inversa, ela precisa ser bijetora, ou seja, deve ser ao mesmo tempo injetora (todo elemento da imagem possui um único correspondente no domínio) e sobrejetora (não há nenhum elemento da imagem que não tenha um elemento do domínio associado a ele). A imagem abaixo ilustra o que acabamos ler

Definindo formalmente, seja f uma função bijetora com domínio D e contradomínio R . Se g é uma função com domínio R e contradomínio D , então g é inversa de f se e somente se as seguintes condições forem válidas:

i   g f x = x   p a r a   t o d o   x   e m   D

i i   f g y = y   p a r a   t o d o   y   e m   R

Graficamente, uma função inversa é representada como uma reflexão da função f   apresentando simetria com a reta y = x entre elas, como mostra a figura abaixo. Os pontos correspondentes ao eixo de simetria y = x de ambas as funções são equidistantes.

Passo 2

Compreendendo a definição de função inversa, vamos resolver a questão.

  1. Para traçar o gráfico de f - 1 , normalmente, acharíamos a função inversa e depois iríamos traçar o gráfico. Como já temos o gráfico da função f , não há necessidade de fazermos estes cálculos. Vamos pegar todos os pontos importantes e fáceis de achar (os pontos das extremidades da curva e os que interceptam o eixo X ou o eixo Y ) e encontrar os pontos simétricos apenas invertendo a ordem dos números. Vamos começar pelos pontos das extremidades
  2. P 3,2 ↔ P - 1 ( 2,3 )

    Q - 3 , - 2   ↔ Q - 1 - 2 , - 3

    Observe que a curva intercepta o eixo no ponto ( 0,0 ) , logo a função inversa também irá interceptar o eixo no ponto ( 0,0 ) . Definidos todos os pontos importantes, vamos traçar a curva de f - 1 . O gráfico abaixo mostra ambas as curvas.

    Passo 3

  3. Ufa, agora que já plotamos os gráficos, falta encontrar o domínio e o contradomínio, vamos lá!? Analisando o gráfico acima, percebe-se que as curvas são bem definidas, logo
  4. f ∈ R ; D = - 3,3   e   C D = - 2,2

    Só falta a resolução de mais um item, vamos lá!!

    Passo 4

  5. Analisando o gráfico acima, o domínio e contradomínio de f - 1 é

f - 1 ∈ R ; D = - 2,2   e   C D = - 3,3

Observe que, basicamente, o domínio de f se tornou o contradomínio de f - 1 e o contradomínio de f se tornou o domínio de f - 1 , comprovando a teoria apresentada no Passo 1.

Até a próxima =]

Resposta

a

b   f ∈ R ; D = - 3,3   e   C D = - 2,2

c   f - 1 ∈ R ; D = - 2,2     e   C D = - 3,3