Na figura, M e N são pontos médios dos lados do triângulo e A P → =   α A N → . Demonstre vetorialmente que α   =   2 3 .

Passo 1

Ok, para fazer essa questão, vamos usar A P → =   α A N → e também C P → = β C M → . Se por um lado temos A P → =   α A N → , também é possível escrever

A P → =   A C → + β C M →

Como os dois resultados devem ser iguais, temos que ter A C → + β C M → = α A N → mas essas expressões são difíceis de comparar. Então, vamos lembrar que M e N são pontos médios dos lados do triângulo. Usando o resultado do Exercício Resolvido 3 do Capítulo 1, chegamos na seguinte conclusão:

A N → = 1 2 A B → + 1 2 A C →

C M → = 1 2 C A → + 1 2 C B → = 1 2 C A → + 1 2 ( C A → + A B → ) = C A → + 1 2 A B → = - A C → + 1 2 A B →

Agora vai ficar muito mais fácil de comparar as expressões. Então fica ligado no próximo passo.

Passo 2

Agora, vamos substituir A N → = 1 2 A B → + 1 2 A C → e C M → = - A C → + 1 2 A B → em:

A C → + β C M → = α A N →

⇒ A C → + β ( - A C → + 1 2 A B → ) = α ( 1 2 A B → + 1 2 A C → )

⇒ ( 1 - β - 1 2 α ) A C → = 1 2 ( α - β ) A B →

Como A C → , A B → são l.i., então a expressão acima só pode ser verdadeira se ambos os coeficientes multiplicando cada vetor forem nulos:

α - β = 0 ⇒ α = β

1 - β - 1 2 α = 0 ⇒ 1 - α - 1 2 α = 0 ⇒ 3 2 α = 1 ⇒ α = 2 3

Esse é exatamente o resultado que a questão queria.

Resposta

Veja a resolução acima.