A figura a seguir é um cubo. Sejam u → = a → + b → , v →   = b →   + c →   e w →   = 2 a → + b →   - c →  

  1. Os vetores u → , v →   e w →   são l.i. ou l.d.? Justifique sua resposta.
  2. Demonstre que B = ( a → , u → ,   v → ) é base.
  3. Determine as coordenadas de w → na base B .

Passo 1

  1. Fala, galerinha! Para determinar se u → , v →   e w →   são l.i. ou l.d., só precisamos verificar se o determinante da matriz que contém os três vetores é nulo ou não. Antes de fazer isso, vamos escrever esses vetores na base A = ( a → , b → ,   c → ) . A questão não fala explicitamente que essa é uma base, mas temos três vetores que são l.i. (todos são ortogonais entre si), então eles formam uma base. Assim, temos
  2. u → = a → + b → = ( 1,1 , 0 ) A

    v →   = b →   + c →   = ( 0,1 , 1 ) A

    w →   = 2 a → + b →   - c →   = ( 2,1 , - 1 ) A

    Agora podemos calcular o determinante:

    ⎜   1                 1                 0   ⎜

    ⎜   0                 1                 1   ⎜ = 1 ⋅ ( - 1 - 1 ) - 1 ⋅ ( 0 - 2 ) + 0 ⋅ ( 0 - 2 ) = - 2 + 2 = 0

    ⎜   2                 1   - 1   ⎜

    Como o determinante é nulo, então esses vetores são l.d.

    Passo 2

  3. Seguindo um raciocínio parecido com o do item anterior, só precisamos calcular o determinante de uma matriz contendo os vetores B = ( a → , u → ,   v → ) e verificar se eles são l.i., ou seja, se o determinante é diferente de zero. Vamos usar os vetores u → ,   v → obtidos no item a) e a → = ( 1,0 , 0 ) . Vamos lá!
  4. ⎜   1                 0                 0   ⎜

    ⎜   1                 1                 0   ⎜ = 1 ⋅ ( - 1 - 0 ) - 0 ⋅ ( 1 - 0 ) + 0 ⋅ ( 1 - 0 ) = - 1 ≠ 0

    ⎜   0                 1                 1   ⎜

    Com isso, vemos que os vetores são l.i. e B é uma base.

    Passo 3

  5. Para determinar as coordenadas de w → na base B , só precisamos escrever esse vetor como combinação linear de ( a → , u → ,   v → )

w → = α a → + β u → + γ   v → ⇒ 2 a → + b →   - c → = α a → + β ( a → + b → ) + γ   ( b →   + c →   )

⇒ 2 a → + b →   - c → = ( α + β ) a → + ( β + γ ) b → + γ   c →  

Comparando os dois lados da equação, vemos que

α + β = 2

β + γ = 1

γ = - 1

Substituindo a terceira equação na segunda, obtemos

β + γ = 1

⇒ β = 1 - γ = 1 - ( - 1 ) = 2

Agora, substituindo β = 2 na primeira equação, obtemos

α + β = 2 ⇒ α = 2 - β = 2 - 2 = 0

Depois de substituir todos os valores γ = - 1 , β = 2 e α = 0 em w → = α a → + β u → + γ   v → , obtemos

w → = 2 u → -   v → = ( 0,2 , - 1 ) B

Resposta

  1. São l.d.
  2. Olhar resolução
  3. w → = ( 0,2 , - 1 ) B