Follow the method of Example 3 to describe the solutions of the following system in parametric vector form. Also, give a geometric description of the solution set and compare it to that in Exercise 5.

x 1 + 3 x 2 + x 3   =   1

- 4 x 1 - 9 x 2 + 2 x 3 =   - 1

- 3 x 2 - 6 x 3 =   - 3

Passo 1

Beleza meu pessoal que curte estudar livros estrangeiros. Tudo bem com vocês? Espero que sim e quero todos atentos a resolução de hoje, que será bem simples, mas completa.

Primeiro passo é darmos uma olhada para a nossa matriz aumentada

A b   =   1 3 1 1 - 4 - 9 2 - 1 0 - 3 - 6 - 3

Passo 2

agora reduzimos a matriz aumentada para a forma escalonada reduzida

adicionar a linha 1 multiplicada por 4 a linha 2, R 2 → R 2   +   4 R 1

1 3 1 1 0 3 6 3 0 - 3 - 6 - 3

Adiciona a linha 2 a linha 3, R 3   →   R 3   +   R 2

1 3 1 1 0 3 6 3 0 0 0 0

Multiplique a linha 2 por 1 3 , R 2 → 1 3 R 2

1 3 1 1 0 1 2 1 0 0 0 0

Subtraia a linha 2 multiplicada por 3 da linha 1, R 1 → R 1 - 3 R 2

1 0 - 5 - 2 0 1 2 1 0 0 0 0

Que é a forma escalonada reduzida. Temos então

Passo 3

x 1   =   5 x 3 - 2

x 2 = - 2 x 3 + 1

E sendo x 3 livre.

como um vetor, a solução geral de Ax = b tem a forma

x   =   x 1 x 2 x 3   =   5 x 3 - 2 - 2 x 3 + 1 x 3   =   - 2 1 0   +   5 x 3 - 2 x 3 x 3   =   - 2 1 0   +   x 3 5 - 2 1

Então, a equação x   =   p   +   t v , onde

p   =   - 2 1 0

v   =   5 - 2 1

e t é um parâmetro geral, descreve a solução ser de Ax = b na forma de vetor paramétrico. No Exercício 5, vimos que o sistema homogêneo Ax = 0 tem o conjunto solução

x   =   x 3 5 - 2 1 ,     x 3 ∈ R

e a matriz de coeficientes A é a mesma deste problema, ou seja.

A   =   1 3 1 - 4 - 9 2 0 - 3 - 6

Sabemos que a equação vetorial paramétrica de uma reta que passa por uma paralela a b é x = a + tb. Então podemos dizer que o conjunto solução de Ax = b é uma linha através de

p   =   - 2 1 0

paralelo ao conjunto solução de Ax = 0 que é

v   =   5 - 2 1

Resposta

O conjunto solução de Ax = b é uma linha através de

p   =   - 2 1 0

e um paralelo ao conjunto solução de Ax = 0.