Enunciado

Se B_1 , B_2 e B_3 forem bases R^2 e se

P_B_1 -> B_2 = [[[3,1],[5,2]]] e P_B_2 -> B_3 = [[[7,2],[4,-,1]]]

então P_B_3 -> B_1 = _________.

Passo 1

Esse é um exercício bem legal sobre mudanças sucessivas de base. Imagine que a gente tenha 3 bases: B_1 , B_2 e B_3 .

Sabemos que

[w]_B_1 = P_B_3 -> B_1 [w]_B_3

Além disso,

[w]_B_1 = P_B_2 -> B_1 [w]_B_2

Assim, igualadando as equações:

P_B_2 -> B_1 [w]_B_2 = P_B_3 -> B_1 [w]_B_3

Passo 2

Além disso, sabemos que

[w]_B_2 = P_B_3 -> B_2 [w]_B_3

Substituindo essa relação na equação do passo anterior:

P_B_2 -> B_1 P_B_3 -> B_2 [w]_B_3 = P_B_3 -> B_1 [w]_B_3

Como isso deve valer para qualquer vetor [w]_B_3 , temos:

P_B_3 -> B_1 = P_B_2 -> B_1 P_B_3 -> B_2

Usando a relação

(A B)^(- 1) = B^(- 1) A^(- 1) ,

temos que

P_B_1 -> B_3 = P_B_2 -> B_3 P_B_1 -> B_2 = [[[7,2],[4,-,1]]] [[[3,1],[5,2]]] = [[[3,1,1,1],[7,2]]]

Daí, basta inverter a matriz:

([[[31,11],[7,2]]])^(- 1) = (1)/(31 * 2 - 11 * 7) [[[2,-,11],[-,7,31]]] = - (1)/(15) [[[2,-,11],[-,7,31]]]

Portanto,

P_B_3 -> B_1 = [[[-,2,//,15,11,//,15],[7,//,15,-,31,//,15]]]

Resposta

P_B_3 -> B_1 = [[[-,2,//,15,11,//,15],[7,//,15,-,31,//,15]]]

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