Enunciado

Uma forma quadrática Q é chamada positiva definida, se para todo v ≠ 0 , Q v > 0 .

  1. Como devem ser os autovalores da matriz de uma forma quadrática postiva definida? (Pense na matriz diagonalizada.)
  2. A forma quadrática Q :   R 2 → R dada pela matriz (em relação à base canônica)

1 2 2 - 4

É positiva definida?

Passo 1

  1. Bom, se a forma quadrática estiver diagonalizada, podemos escrever:
  2. Q x 1 , … , x n = λ 1 x 1 2 + … + λ n x n 2

    Se ela é positiva para todo v ≠ 0 , então podemos escolher:

    v = ( 1,0 , … , 0 )

    Logo:

    λ 1 > 0

    Fazendo isso para os vetores da base, temos:

    λ i > 0

    Então os autovalores devem ser positivos!

    Veja ainda que, eventualmente, um de seus autovalores, não todos, pode ser nulo, o que não contraria a definição.

    Passo 2

  3. Vamos calcular seus auto-valores:

λ - 1 - 2 - 2 λ + 4 = λ 2 + 3 λ - 8 = 0

Disso, temos que seus auto-valores são:

λ = - 3 ± 4 1 2

Como um de seus autovalores é negativo, ela não é positiva definida.

Resposta

  1. Autovalores não-negativos;
  2. Não é positiva definida.
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Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que se B ( v , w ) é uma forma bilinear simétrica cuja forma quadrática associada é positiva definida, então B ( v , w ) é um produto interno. Compare com o Exercício 3.
Verifique se as aplicações abaixo são formas bilineares. B : R 2 × R 2 → R definida por B x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = x 1 + y 2 B : V × V → R definida por B u , v = u , v .
Qual é a matriz M 2 × 2 associada à forma bilinear de R 2 × R 2 → R que dá o produto interno usual de R 2 ?
Mostre o resultado afirmado em 10.4 . 2 e use este fato para dar exemplos de formas bilineares simétricas B : R 5 × R 5 → R .
Se A é uma forma bilinear simétrica e Q a forma quadrática associada a ela, mostre que: A v , w = 1 4 Q v + w - 1 4 Q ( v - w )