A fórmula do período T de um pêndulo de comprimento L , deslocado do equilíbrio de um ângulo inicial de θ 0 radiano, é dada pela integral imprópria

T   =   2 2 L g ∫ 0 θ 0 1 c o s θ - c o s θ 0 d θ

Fazendo a substituição s i n u = ( 1 / k ) s i n ( 1 2 θ ) , com k = s i n 1 2 θ 0 , pode-se mostrar que

T   =   4 L g ∫ 0 π / 2 1 1 - k 2 s i n 2 u d u

b) Aproxime T se θ 0 = π / 6

Passo 1

Vamos continuar a questão então, precisamos utilizar o que obtemos no final da última alternativa para aproximar o valor de T , utilizando as identificações dadas no enunciado, saca só!

Passo 2

Nós mostramos que:

T ≈ 2 π L g ( 1 + 1 4 k 2 )

No entanto, temos que k = s i n 1 2 θ 0 , sendo assim, podemos escrever:

T ≈ 2 π L g ( 1 + 1 4 s i n 2 ( 1 2 θ 0 ) )

Utilizando que s i n ( π / 12 ) ≈ 0,26 , temos:

T ≈ 2 π L g ( 1 + 1 4 0,2 6 2 ) ≈ 6,39 L g

Nossa questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

T ≈ 6,39 L g