A fórmula do período de um pêndulo de comprimento , deslocado do equilíbrio de um ângulo inicial de radiano, é dada pela integral imprópria
Fazendo a substituição , com , pode-se mostrar que
a) Use a série binomial de para mostrar que
Passo 1
Oiiie, tudo bem?
Vamos primeiro apresentar qual é a representação em série de potências que o enunciado nos indica, ela é dada da seguinte maneira:
Que é a aplicação da série binomial para um valor de real. Ou seja, temos que:
Nesta passagem perceba que eu tirei n termos de ½ que estavam multiplicando no numerador, por isso temos o termo de no denominador, para todo n par, por exemplo n=4, n=6, etc, temos um número par de sinais negativos no denominador, portanto, podemos resumir o escrito acima como:
A convergência de uma série binomial é sempre dada para |x|
Maravilha, agora precisamos usar esta expressão para obter o que a questão nos pede. Ou seja, identificar , bora lá!
Passo 2
Usando a construção feita anteriormente temos que:
Vamos então manter esta expressão até termos de segunda ordem em , tal que:
Precisamos resolver esta integração, bora lá!
Passo 3
Podemos inicialmente expandir estas integrações, ou seja:
A primeira integração é bastante direta, então vamos resolvê-la de uma só vez! Olha só:
Vamos agora resolver a segunda integral!
Passo 4
Para a segunda integral é interessante lembrar a relação de meio arco para o seno, sendo ela:
Utilizando isso em nossa integral, temos:
Utilizando a mudança de variáveis na segunda integral temos:
Finalmente, juntando os resultados, temos:
Essa alternativa foi isso, bora para a letra b).
Resposta
Ao longo dos passos.