A fórmula do período T de um pêndulo de comprimento L , deslocado do equilíbrio de um ângulo inicial de θ 0 radiano, é dada pela integral imprópria

T   =   2 2 L g ∫ 0 θ 0 1 c o s θ - c o s θ 0 d θ

Fazendo a substituição s i n u = ( 1 / k ) s i n ( 1 2 θ ) , com k = s i n 1 2 θ 0 , pode-se mostrar que

T   =   4 L g ∫ 0 π / 2 1 1 - k 2 s i n 2 u d u

a) Use a série binomial de ( 1 - x ) - 1 / 2 para mostrar que

T   ≈ 2 π L g ( 1 + 1 4 k 2 )

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

Vamos primeiro apresentar qual é a representação em série de potências que o enunciado nos indica, ela é dada da seguinte maneira:

( 1 + x ) k   =   1   + k x   +   k ( k - 1 ) 2 ! x 2 + . . . + k ( k - 1 ) . . . ( k - n + 1 ) n ! x n + . . .

Que é a aplicação da série binomial para um valor de k real. Ou seja, temos que:

1 1 + x = ( 1 + x ' ) - 1 / 2 = 1   -   x ' 2 + - 1 / 2 ( - 1 / 2 - 1 ) 2 x ' 2 + . . . + - 1 / 2 ( - 1 / 2 - 1 ) . . . ( - 1 / 2 - n + 1 ) n ! x ' n + . . . =

= 1   -   x ' 2 + 3 8 x ' 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ - 1 ( - 1 - 2 ) . . . ( - 1 - 2 n + 2 ) ) 2 n n ! x ' n + . . . =

Nesta passagem perceba que eu tirei n termos de ½ que estavam multiplicando no numerador, por isso temos o termo de 2 n no denominador, para todo n par, por exemplo n=4, n=6, etc, temos um número par de sinais negativos no denominador, portanto, podemos resumir o escrito acima como:

= 1   -   x ' 2 + 3 8 x ' 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n 1 | - 1 | | - 3 | | - 5 | . . . | ( 1 - 2 n ) | 2 n n ! x ' n =

= 1   - x ' 2 + 3 8 x ' 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n 1 × 3 × 5 . . . ( 2 n - 1 ) 2 n n ! x ' n

A convergência de uma série binomial é sempre dada para |x| x '   =   - x , para obtermos o resultado que iremos utilizar:

1 1 - x = ( 1 - x ' ) - 1 / 2 = 1   + x 2 + 3 8 x 2 + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n + 1 1 × 3 × 5 . . . ( 2 n - 1 ) 2 n n ! x n

Maravilha, agora precisamos usar esta expressão para obter o que a questão nos pede. Ou seja, identificar x   =   k 2 s i n 2 u , bora lá!

Passo 2

Usando a construção feita anteriormente temos que:

1 1 - k 2 s i n 2 u = 1   + k 2 s i n 2 u 2 + 3 8 k 4 s i n 4 u + . . . + ∑ n = 3 ∞ ( - 1 ) n + 1 1 × 3 × 5 . . . ( 2 n - 1 ) 2 n n ! k n s i n n   u

Vamos então manter esta expressão até termos de segunda ordem em k , tal que:

T   ≈   4 L g ∫ 0 π / 2 ( 1 + k 2 s i n 2 u 2 ) d u

Precisamos resolver esta integração, bora lá!

Passo 3

Podemos inicialmente expandir estas integrações, ou seja:

T ≈ 4 L g ∫ 0 π / 2 d u + 2 k 2 L g ∫ 0 π / 2 s i n 2 u   d u

A primeira integração é bastante direta, então vamos resolvê-la de uma só vez! Olha só:

4 L g ∫ 0 π / 2 d u = 4 L g π 2 = 2 π L g

Vamos agora resolver a segunda integral!

Passo 4

Para a segunda integral é interessante lembrar a relação de meio arco para o seno, sendo ela:

s i n 2   u = 1 2 ( 1 - c o s 2 u )

Utilizando isso em nossa integral, temos:

2 k 2 L g ∫ 0 π / 2 s i n 2 u   d u = k 2 L g ∫ 0 π / 2 ( 1 - c o s 2 u ) d u = k 2 L g ∫ 0 π / 2 d u - k 2 L g ∫ 0 π / 2 c o s 2 u   d u →

Utilizando a mudança de variáveis u '   =   2 u → d u ' = 2   d u na segunda integral temos:

→ k 2 L g ( π 2 ) + 1 2 k 2 L g ( s i n u ' ) | π 0 = π k 2 2 L g

Finalmente, juntando os resultados, temos:

T ≈ 2 π L g ( 1 + 1 4 k 2 )

Essa alternativa foi isso, bora para a letra b).

Resposta

Ao longo dos passos.