A função posição s de um ponto P que se move em uma reta coordenada P é dada por t em segundos e s ( t ) em centímetros.

  1. Ache a velocidade média de P nos seguintes intervalos de tempo [ 1 ; 1,2 ] , [ 1 ; 1,1 ] e [ 1 ; 1,01 ] .
  2. Determine a velocidade em P em t = 1 .

s t = 4 t 2 + 3 t

Passo 1

Segundo a Definição (3.2), a velocidade média de um móvel que percorre uma distância d no tempo t é

v m = d t

Também podemos como,

v m = s t + x - s ( t ) ∆ x

Passo 2

Compreendendo a Definição (3.2), vamos resolver a questão.

  1. Iremos substituir o valor dos intervalos na equação.
  • Para [ 1 ; 1,2 ]
  • v m = s t + x - s t ∆ x = s 1,2 - s 1 1,2 - 1

    = 4 × 1,2 2 + 3 × 1,2 - 4 × 1 2 + 3 × 1 0,2

    = 4 × 1,44 + 3,6 - 4 - 3 0,2

    = 5,76 - 3,4 0,2

    = 2,36 0,2

    v m = 11,8   c m / s 2

  • Para [ 1 ; 1,1 ]
  • v m = s t + x - s t ∆ x = s 1,1 - s 1 1,1 - 1

    = 4 × 1,1 2 + 3 × 1,1 - 4 × 1 2 + 3 × 1 0,1

    = 4 × 1,24 + 3,3 - 4 - 3 0,1

    = 4,96 - 3,7 0,1

    = 1,26 0,1

    v m = 12,6   c m / s 2

  • Para [ 1 ; 1,01 ]

v m = s t + x - s t ∆ x = s 1,1 - s 1 1,01 - 1

= 4 × 1,01 2 + 3 × 1,01 - 4 × 1 2 + 3 × 1 0,01

= 4 × 1,0201 + 3,03 - 4 - 3 0,01

= 4,0804 - 3,97 0,01

= 0,1104 0,01

v m = 11,04   c m / s 2

Passo 3

  • Para determinar a velocidade em t = 1 , vamos utilizar a seguinte equação
  • v = lim x  → 0 ⁡ s t + x - s ( t ) x

    = lim x  → 0 ⁡ s 1 + x - s ( 1 ) x

    = lim x  → 0 ⁡ 4 1 + x 2 + 3 1 + x - [ 4 × 1 2 + 3 × 1 ] x

    = lim x  → 0 ⁡ 4 1 + 2 x + x 2 + 3 + 3 x - 4 + 3 x

    = lim x  → 0 ⁡ 4 + 8 x + 4 x 2 + 3 x - 4 x

    = lim x  → 0 ⁡ 4 x 2 + 11 x x

    = lim x  → 0 ⁡ x ( 4 x + 11 ) x

    = lim x  → 0 ⁡ 4 x + 11

    Substituindo x ,

    = 4 × 0 + 11

    v = 11   c m / s 2

    Resposta

    a   v m = { 11,8   ; 12,6 ; 11,04 }   c m / s 2  

    a   v = 11   c m / s 2