A função posição s de um ponto P que se move em uma reta coordenada P é dada por t em segundos e s ( t ) em centímetros.

  1. Ache a velocidade média de P nos seguintes intervalos de tempo [ 1 ; 1,2 ] , [ 1 ; 1,1 ] e [ 1 ; 1,01 ] .
  2. Determine a velocidade em P em t = 1 .

s t = 2 t - 3 t 2

Passo 1

Segundo a Definição (3.2), a velocidade média de um móvel que percorre uma distância d no tempo t é

v m = d t

Também podemos como,

v m = s t + x - s ( t ) ∆ x

Passo 2

Compreendendo a Definição (3.2), vamos resolver a questão.

  1. Iremos substituir o valor dos intervalos na equação.
  • Para [ 1 ; 1,2 ]
  • v m = s t + x - s t ∆ x = s 1,2 - s 1 1,2 - 1

    = 2 × 1,2 - 3 × 1,2 2 - 2 × 1 - 3 × 1 2 0,2

    = 2,4 - 3 × 1,44 - 2 + 3 0,2

    = - 4,32 + 3,4 0,2

    = - 0,92 0,2

    v m = - 4,6   c m / s 2

  • Para [ 1 ; 1,1 ]
  • v m = s t + x - s t ∆ x = s 1,1 - s 1 1,1 - 1

    = 2 × 1,1 - 3 × 1,1 2 - 2 × 1 - 3 × 1 2 0,1

    = 2,2 - 3 × 1,2 1 - 2 + 3 0,1

    = - 3,63 + 3,2 0,1

    = - 0,43 0,1

    v m = - 4,3   c m / s 2

  • Para [ 1 ; 1,01 ]

v m = s t + x - s t ∆ x = s 1,1 - s 1 1,01 - 1

= 2 × 1,01 - 3 × 1,01 2 - 2 × 1 - 3 × 1 2 0,01

= 2,02 - 3 × 1,0201 - 2 + 3 0,01

= - 3 , 0 6 0 3 + 3,02 0,01

= - 0 , 0403 0,01

v m = - 4,03   c m / s 2

Passo 3

  • Para determinar a velocidade em t = 1 , vamos utilizar a seguinte equação
  • v = lim x  → 0 ⁡ s t + x - s ( t ) x

    = lim x  → 0 ⁡ s 1 + x - s ( 1 ) x

    = lim x  → 0 ⁡ 2 1 + x - 3 1 + x 2 - [ 2 × 1 - 3 × 1 2 ] x

    = lim x  → 0 ⁡ 2 + x - 3 1 + 2 x + x 2 - 2 + 3 x

    = lim x  → 0 ⁡ x - 3 - 6 x + - 3 x 2 + 3 x

    = lim x  → 0 ⁡ - 3 x 2 - 5 x x

    = lim x  → 0 ⁡ x ( - 3 x - 5 ) x

    = lim x  → 0 ⁡ - 3 x - 5

    Substituindo x ,

    = - 3 × 0 - 5

    v = - 5   c m / s 2

    Resposta

    a   v m = { - 4,6   ; - 4,3 ; - 4,03 }   c m / s 2  

    a   v = - 5   c m / s 2