Enunciado

Mostre que

a )   z - = | z |

b )   z w = z | w |

c ) z w = | z | | w |

d )   z + w 2 = z 2 + w 2 + 2 R e ( z w - )

z - w 2 = z 2 + w 2 - 2 R e ( z w ) -

Passo 1

Para mostrar tais itens vamos tomar z = a + b i   e   w = c + d i

z =   a 2 + b 2

w =   c 2 + d 2

Letra a)

z - = a - b i = a 2 + b 2 = | z |

Letra b)

z w = a c - b d + i a d + b c =   a c - b d 2 + a d + b c 2   =

=   a 2 c 2 + b 2 d 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + 2 a d b c - 2 a c b d =

=   a 2 c 2 + b 2 d 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 =

=   ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) = z | w |

Passo 2

Letra c)

z w = z     w - w   w -

Pela propriedade da b:

z     w - w   w - = 1 w   w - z w - = 1 w 1 w - w - z = | z | | w |  

Passo 3

Letra d)

z + w = a + c + i b + d =   a + c 2 + b + d 2

z + w 2 = a + c 2 + b + d 2

= a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2 ( a c + b d )

Obviamente que a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = z 2 + w 2

Basta analisarmos o que é o resto

z w - = a + b i c + d i = a c + a d i + b i c - b d = a c - b d + i ( a d + b i )

Logo R e z w - = a c - b d

z + w 2 = z 2 + w 2 + 2 R e z w -

A outra é análoga:

z - w = a - c + i b - d =   a + c 2 + b - d 2

z - w 2 = a - c 2 + b - d 2

= a 2 + c 2 + b 2 + d 2 - 2 a c + b d

z 2 + w 2 - 2 R e ( z w ) -

Resposta

Demonstração

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