Em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa (isto é, AB BA). No entanto, existem certos casos especiais em que a comutatividade é válida. Mostre que:

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

  1. Seja A e B duas matrizes diagonais n   x   n   . Então nós temos que a i j = 0 e b i j = 0 se   i   ≠   j .
  2. Definindo C   =   A B e D   =   B A nós temos que c i j = ∑ k = 1 n a i k b k j e d i j = ∑ k   =   1 n b i k a k j

    Vamos analisar os produtos a i k b k j e b i k a k j

    Se   i   ≠   j nós temos que a i k b k j = 0 e b i k a k j = 0 para todo 1   ≤   k   ≤   n por causa:

    Quando k   ≠   i e k   ≠   j nós temos que a i k = 0 , b k j = 0 , a k j = 0

    Quando   k   =   i , desde i   ≠   j nós temos que b k j = 0 e a k j = 0

    Quando k   =   j , desde i   ≠   j nós temos que a i k = 0 e b k j = 0

    Daqui se i   ≠   j nós temos que c i j = 0 e d i j = 0

    ‎Assim, temos que ‎C e ‎D são diagonais.‎

    Se i   =   j nós temos que a i k b k j = 0 e k   ≠   i . Daqui c i j = c i i = a i i b i i e d _ { i j }   =   d _ { i i }   =   b _ { i i } a _ { i i }   =   a _ { i i } b _ { { i i }

    Assim temos que c i j = d i j e então C   =   D isso é A B   =   B A

    ‎Observe que os elementos diagonais de ‎‎AB‎ são os produtos dos elementos diagonais correspondentes de ‎‎A‎‎ e ‎B.

    Passo 2

  3. Seja A uma matriz n   x   n   e deixamos B = a 0 ​ I + a 1 ​ A + a 2 ​ A 2 + … + a k ​ A k onde   a 0 ​ , a 1 ​ , … , a k ​ são escalares

Resposta

Resposta nos passos.