Given A   =   4 1 6 - 7 5 3 1 0 1 , observe that the first column plus twice the second column equals the third column. Find a nontrivial solution of Ax=0

Passo 1

Beleza meu pessoal que curte estudar livros estrangeiros. Tudo bem com vocês? Espero que sim e quero todos atentos a resolução de hoje, que será bem simples, mas completa.

A equação homogênea Ax = 0 pode ser escrita como uma equação vetorial da seguinte maneira

x 1 4 - 7 9   +   x 2 1 5 - 3   +   x 3 6 3 3   =   0 0 0    

Essa equação possui a solução trivial x 1   =   x 2   =   x 3   =   0 .

Passo 2

Denote por v i , i = 1,2,3 este vetor, que é

v 1 = 4 - 7 9 ,   v 2   =   1 5 - 3 ,   e   v 3 =   6 3 3

Observe que o seguinte se aplica:

v 1 + 2 v 2   =   v 3

daqui é v 1 +   2 v 2   -   v 3   =   0 , então o conjunto { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } é linearmente dependente, por definição.

Ou seja, as colunas de uma matriz são linearmente dependentes e a equação Ax = 0 tem uma solução não trivial.

Sabemos que cada relação de dependência linear entre as colunas de uma matriz A corresponde a uma solução não trivial, então de v 1 +   2 v 2   -   v 3   =   0 , temos que a solução é (1,2,-1).

Resposta

A solução não trivial 1,2 , - 1 .