Given A   =   2 3 5 - 5 1 - 4 - 3 - 1 - 4 1 0 1 , observe that the third column is the sum of the first two columns. Find a nontrivial solution of Ax=0

Passo 1

Beleza meu pessoal que curte estudar livros estrangeiros. Tudo bem com vocês? Espero que sim e quero todos atentos a resolução de hoje, que será bem simples, mas completa.

Sabemos que a equação da matriz do sistema Ax = 0 é equivalente à equação vetorial

x 1 a 1 + x 2 a 2   +   x 3 a 3 = 0

onde cada a i é a iésima coluna de A. Portanto, existe uma solução não trivial x para as equações da matriz se houver números x 1 ,   x 2   e   x 3 que resolvem (1) tal que nem todos os três números são 0*.

*: é isso que a palavra não trivial significa neste contexto

Passo 2

Mas já sabemos pela declaração do exercício (embora você mesmo deva confirmar) que

a 3   =   a 1 + a 2

movendo a 1   e   a 2 para a esquerda, vemos que

- a 1 - a 2 + a 3 =   0

Comparando isso com a equação (1), vemos que de fato existe uma solução não trivial para este sistema: x 1 , x 2 , x 3 = - 1 , - 1,1 .

Resposta

x 1 x 2 x 3 = - 1 - 1 1