Uma herança de $24.000 deve ser dividida entre três fundos de investimento, com o segundo fundo recebendo duas vezes mais que o primeiro. Os três fundos pagam juros de 9%, 10% e 6% anualmente, respectivamente, e rendem um total em juros de $2210 no final do primeiro ano. Quanto foi investido em cada fundo?

Passo 1

E aí pessoal, belezinha. Vamos agora trabalhar em algumas questões de sistemas lineares.

O entendimento do enunciado para a escrita correta das equações lineares em problemas de planejamento da produção é a etapa crucial do problema. Baseando-se no exemplo 7 desta seção vamos escrever as equações lineares do exercício a resolver. Assumindo que x1, x2 e x3 são os investimentos da herança em cada fundo, respectivamente, teremos:

x 2 = 2 x 1

Rendimento em juros

0,09 x 1 + 0,10 x 2 + 0,06 x 3 = 2210

Total do investimento da herança

x 1 + x 2 + x 3 = 2 4000

Passo 2

O sistema obtido é dado por:

2 x 1 - x 2                                       = 0 9 x 1 + 10 x 2 + 6 x 3 = 221000 x 1 + x 2 + x 3 = 2 4000

Permutando as linhas do sistema, multiplicando a segunda equação por 100, e substituindo x2 por 2x1, podemos reescrever da seguinte forma:

x 1 + 2 x 1 + x 3 = 24000 9 x 1 + 20 x 1 + 6 x 3 = 221000 = > 3 x 1 + x 3 = 24000 2 9 x 1 + 6 x 3 = 221000

Escalonando o sistema faremos:

I I - 6 I : 2 9 x 1 + 6 x 3 = 221000 - 18 x 1 - 6 x 3 = - 144000 = > 11 x 1 = 77000

Reescrevendo o sistema temos:

3 x 1 + x 3 = 24000 11 x 1           = 77 000

Resolvendo o sistema:

11 x 1 = 77 000 = > x 1 = 77 000 11 = 7000

Substituindo o valor de x1 na primeira equação:

3 x 1 + x 3 = 24000 = > 3 ∙ 7000 + x 3 = 24000 = > x 3 = 24000 - 21000

= > x 3 = 3000

Substituindo na equação 1 inicial, temos:

x 2 = 2 x 1 = > x 2 = 2 ∙ 7000 = 14000

A solução é dada por:

S = { 7000,14000,3000 }

Resposta

$ 7000,00 no primeiro fundo; $ 14000,00 no segundo fundo; e $ 3000,00 no terceiro fundo.