No hexágono regular A B C D E F , M 1 ,   M 2 ,   M 3 e M 4 são pontos médios dos lados onde se situam. Escreva ∑ j = 1 4 A M j → em função de A O → .

Passo 1

Tudo beleza, pessoal? Vamos começar essa questão escrevendo cada vetor A M j → :

A M 1 → = A O → + O M 1 →

A M 2 → = A O → + O M 2 →

A M 3 → = A O → + O M 3 →

A M 4 → = A O → + O M 4 →

Agora vem o pulo do gato. Veja bem, temos um triângulo O B C e M 1 é ponto médio de B C . Então, podemos usar o resultado do Exercício Resolvido 3 do Capítulo 1:

O M 1 → = 1 2 ( O B → + O C → )

Vamos seguir o mesmo raciocínio para os demais pontos:

O M 2 → = 1 2 ( O C → + O D → )

O M 3 → = 1 2 ( O D → + O E → )

O M 4 → = 1 2 ( O E → + O F → )

Passo 2

Usando os resultados do passo anterior, ficamos com

∑ j = 1 4 A M j → = A M 1 → + A M 2 → + A M 3 → + A M 4 → = 4 A O → + O M 1 → + O M 2 → + O M 3 → + O M 4 →

⇒ ∑ j = 1 4 A M j → = 4 A O → + 1 2 ( O B → + O C → ) + 1 2 ( O C → + O D → ) + 1 2 ( O D → + O E → ) + 1 2 ( O E → + O F → )

⇒ ∑ j = 1 4 A M j → = 4 A O → + 1 2 O B → + O C → + O D → + O E → + 1 2 O F →

Agora, só resta notar que

O D → = A O →

O E → = - O B →

O C → = - O F →

Então

1 2 O B → + O C → + O E → + 1 2 O F → = - 1 2 O B → - 1 2 O F → = - 1 2 ( O B → + O F → ) = - 1 2 ( O A → ) = 1 2 A O →

onde usamos a soma de vetores na penúltima igualdade. Então, juntando tudo isso, ficamos com

∑ j = 1 4 A M j → = 4 A O → + 1 2 O B → + O C → + O D → + O E → + 1 2 O F → = 4 A O → + A O → + 1 2 A O → = 11 2 A O →

Resposta

∑ j = 1 4 A M j → = 11 2 A O →