Identificar a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizado e fazer um esboço do gráfico.

Passo 1

Nossa equação é x 2 - 6 x y - 7 y 2 + 10 x + 2 y + 9 = 0   , podemos escrever essa equação na seguinte forma

X t A X + K X   +   9 = 0

onde a matriz A carrega as informações a respeito dos valores quadráticos em x e y e a matriz K a respeito dos valores lineares. Podemos ainda escrever o termo quadrático como x 2   -   7 y 2 - 6 x y , daí a matriz A ganha o seguinte formato

A = 1 - 3 - 3 - 7

repare ainda que os coeficientes de x 2 e y 2 estão nas diagonais (1 e -7) e os coeficientes dos termos cruzados nos outros termos. Quanto a matriz   K , temos

K = 10 2

O nosso objetivo é realizar uma transformação de coordenadas de forma que a cônica em questão esteja centralizada no novo sistema de coordenadas. Esse novo sistema de coordenadas está ligado com a matriz diagonalizada D da matriz A e com seus autovetores.

Passo 2

Para diagonalizar a matriz A , começamos com o polinômio característico p λ , que é dado por

p λ = 1   -   λ - 3 - 3 - 7   -   λ = - 1 - λ 7 +   λ - 9 = λ 2 + 6 λ - 16

e suas raízes são λ   =   2 e   λ   =   - 8 . Segue que, a matriz diagonalizada D é

D = 2 0 0 - 8

e encontrando seus autovetores, através da equação

A - λ I 2 X = 1   -   λ - 3 - 3 - 7   -   λ a b = 0

onde I 2 é a matriz identidade 2   × 2 , encontramos os seguintes autovetores (já normalizados)

W 1 = 1 10 3 10 para λ   =   - 8 e W 2 = - 3 10 1 10 para λ   =   2

Passo 3

Tendo os autovetores e autovalores em mãos, escrevemos a equação da cônica como

X ' t D X ' + K P X ' = 0

onde X ' representa o novo sistema de coordenadas e P é a matriz ligada aos autovetores que nós encontramos

P = 1 10 3 10         - 3 10 1 10

daí, nossa equação no novo sistema de coordenadas se torna

x ' 2 - y ' 2 4 - 1 5 10 x ' + 7 10 10 y ' - 9 8 = 0

Passo 4

Fazendo a transformação de coordenadas

x ' '   =   x '   +   1 10   y ' '   =   y '   +   7 10  

chegamos a seguinte equação

- 8 x ' ' 2 + 2 y ' ' 2 = 0

que representa, na verdade uma cônica degenerada, representa as duas retas y ' ' = ± 2 x ' ' , cujo gráfico é

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)