Enunciado

Identificar a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizado e fazer um esboço do gráfico.

5 x 2 + 12 x y - 12 13 x = 36

Passo 1

E aí, aluno?! Vamos para mais uma questão!

Podemos reescrever a equação como

X t A X + K X - 3 6 = 0

Tal que

X =   x y

A = 5 6 6 0

K =   - 12 13 0

Passo 2

Calculando o polinômio característico da matriz A:

p(λ) = det ⁡ ( A - λ I 2 ) = det ⁡ 5 - λ 6 6 - λ =   λ 2 - 5 λ - 36

Igualando a zero e resolvendo:

λ 2 - 5 λ - 36 = 0

λ = - 4

λ = 9

Esses são os nossos autovalores, determinando os autovetores, que podem ser ortonormalizados:

9 6 6 4 x y = 0

x y =   V 1

W 1 =   V 1 V 1 = ( 2 13 ,   - 3 13 )

E para o segundo autovalor:

- 4 6 6 9 x y = 0

x y =   V 2

W 2 =   V 2 V 2 = ( 3 13 ,   2 13 )

Dessa forma, podemos dizer que temos:

D = - 4 0 0 9 e P = 2 13 3 13 - 3 13 2 13

Tal que D = P t A P .

Passo 3

Realizando uma mudança de variável de X = PX’, em que

X ' =   x ' y '

Podemos reescrever

X t A X + K X - 36 = 0

Como

X ' t ( P t A P ) X ' + K P X ' - 3 6 = 0

Dessa forma:

x ' y ' - 4 0 0 9 x ' y ' + - 12 13 0 2 13 3 13 - 3 13 2 13 x ' y ' - 36 = 0

Realizando as devidas manipulações algébricas e voltando as variáveis para x e y, obtemos, então:

- 4 x 2 + 9 y 2 - 24 x - 36 y - 36 = 0

Que podemos reescrever como:

- 4 x 2 + 9 y 2 - 36 = 0

Dividindo por 36:

- x 2 9 + y 2 4 - 1 = 0

Que pode ser escrito como:

- x 2 9 + y 2 4 = 1

Assim, temos a fórmula de uma hiperbole.

Resposta

Hiperbole - x 2 9 + y 2 4 = 1