Identificar a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizado e fazer um esboço do gráfico.

21 x 2 + 6 x y + 13 y 2 - 132 = 0

Passo 1

E aí, aluno?! Vamos para mais uma questão!

Podemos reescrever a equação como

X t A X + K X - 132 = 0

Tal que

X =   x y

A = 21 3 3 13

K =   0

Passo 2

Calculando o polinômio característico da matriz A:

p(λ) = det ⁡ ( A - λ I 2 ) = det ⁡ 21 - λ 3 3 13 - λ =   λ 2 - 34 λ + 264

Igualando a zero e resolvendo:

λ 2 - 34 λ + 264 = 0

λ = 12

λ = 22

Esses são os nossos autovalores, determinando os autovetores, que podem ser ortonormalizados:

9 3 3 1 x y = 0

x y =   V 1

W 1 =   V 1 V 1 = ( 10 10 ,   - 3 10 10 )

E para o segundo autovalor:

- 1 3 3 - 9 x y = 0

x y =   V 2

W 2 =   V 2 V 2 = ( 3 10 10 ,   10 10 )

Dessa forma, podemos dizer que temos:

D = 12 0 0 22 e P = 10 10 3 10 10 - 3 10 10 10 10

Tal que D = P t A P .

Passo 3

Realizando uma mudança de variável de X = PX’, em que

X ' =   x ' y '

Podemos reescrever

X t A X + K X - 132 = 0

Como

X ' t ( P t A P ) X ' + K P X ' - 132 = 0

Dessa forma:

x ' y ' 12 0 0 22 x ' y ' + 0 0 10 10 3 10 10 - 3 10 10 10 10 x ' y ' - 132 = 0

Realizando as devidas manipulações algébricas e voltando as variáveis para x e y, obtemos, então:

12 x 2 + 22 y 2 - 132 = 0

Dividindo por 132:

x 2 11 + y 2 6 - 1 = 0

Que pode ser escrito como:

x 2 11 + y 2 6 = 1

Assim, temos a fórmula de uma elipse.

Resposta

Elipse. x 2 11 + y 2 6 = 1