Identificar a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizado e fazer um esboço do gráfico.

4 x 2 - 20 x y + 25 y 2 - 15 x - 6 y = 0

Passo 1

E aí, aluno?! Vamos para mais uma questão!

Podemos reescrever a equação como

X t A X + K X = 0

Tal que

X =   x y

A = 4 - 10 - 10 25

K =   - 15 - 6

Passo 2

Calculando o polinômio característico da matriz A:

p(λ) = det ⁡ ( A - λ I 2 ) = det ⁡ 4 - λ - 10 - 10 25 - λ =   λ 2 - 29 λ

Igualando a zero e resolvendo:

λ 2 - 29 λ = 0

λ = 0

λ = 29

Esses são os nossos autovalores, determinando os autovetores, que podem ser ortonormalizados:

4 - 10 - 10 25 x y = 0

x y =   V 1

W 1 =   V 1 V 1 = ( 5 29 29 ,   2 29 29 )

E para o segundo autovalor:

- 25 - 10 - 10 - 4 x y = 0

x y =   V 2

W 2 =   V 2 V 2 = ( - 2 29 29 ,   5 29 29 )

Dessa forma, podemos dizer que temos:

D = 0 0 0 29 e P = 5 29 29 - 2 29 29 2 29 29 5 29 29

Tal que D = P t A P .

Passo 3

Realizando uma mudança de variável de X = PX’, em que

X ' =   x ' y '

Podemos reescrever

X t A X + K X = 0

Como

X ' t ( P t A P ) X ' + K P X ' = 0

Dessa forma:

x ' y ' 0 0 0 29 x ' y ' + - 15 - 6 5 29 29 - 2 29 29 2 29 29 5 29 29 x ' y ' = 0

Realizando as devidas manipulações algébricas e voltando as variáveis para x e y, obtemos, então:

29 y 2 - 3 29 x = 0

Dividindo por 29:

y 2 - 3 29 29 x = 0

Assim, temos a fórmula de uma parábola.

Resposta

Parábola. y 2 - 3 29 29 x = 0