Identificar a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizado e fazer um esboço do gráfico.

5 x 2 + 5 y 2 - 6 x y - 30 2 x + 18 2 y + 82 = 0

Passo 1

E aí, aluno?! Vamos para mais uma questão!

Podemos reescrever a equação como

X t A X + K X - 30 = 0

Tal que

X =   x y

A = 5 - 3 - 3 5

K =   - 30 2 30 2

Passo 2

Calculando o polinômio característico da matriz A:

p(λ) = det ⁡ ( A - λ I 2 ) = det ⁡ 5 - λ - 3 - 3 5 - λ =   λ 2 - 10 λ + 16

Igualando a zero e resolvendo:

λ 2 - 10 λ + 16 = 0

λ = 2

λ = 8

Esses são os nossos autovalores, determinando os autovetores, que podem ser ortonormalizados:

3 - 3 - 3 3 x y = 0

x y =   V 1

W 1 =   V 1 V 1 = ( 2 2 ,   2 2 )

E para o segundo autovalor:

- 3 - 3 - 3 - 3 x y = 0

x y =   V 2

W 2 =   V 2 V 2 = ( - 2 2 ,   2 2 )

Dessa forma, podemos dizer que temos:

D = 2 0 0 8 e P = 2 2 - 2 2 2 2 2 2

Tal que D = P t A P .

Passo 3

Realizando uma mudança de variável de X = PX’, em que

X ' =   x ' y '

Podemos reescrever

X t A X + K X + 82 = 0

Como

X ' t P t A P X ' + K P X ' + 82 = 0

Dessa forma:

x ' y ' 2 0 0 8 x ' y ' + - 30 2 30 2 2 2 - 2 2 2 2 2 2 x ' y ' + 82 = 0

Realizando as devidas manipulações algébricas e voltando as variáveis para x e y, obtemos, então:

2 x 2 + 8 y 2 - 12 x + 48 y + 82 = 0

Reescrevendo:

2 x 2 - 8 + 8 y 2 = 0

Dividindo por 8:

x 2 4 - 1 + y 2 = 0

Que pode ser escrito como:

x 2 4 + y 2 = 1

Assim, temos a fórmula de uma elipse.

Resposta

Elipse. x 2 4 + y 2 = 1