Enunciado

Identificar a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizado e fazer um esboço do gráfico.

2 x 2 - 4 x y - y 2 = - 24

Passo 1

E aí, aluno?! Vamos para mais uma questão!

Podemos reescrever a equação como

X t A X + K X + 24 = 0

Tal que

X =   x y

A = 2 - 2 - 2 - 1

K =   0

Passo 2

Calculando o polinômio característico da matriz A:

p(λ) = det ⁡ ( A - λ I 2 ) = det ⁡ 2 - λ - 2 - 2 - 1 - λ =   λ 2 - λ - 6

Igualando a zero e resolvendo:

λ 2 - λ - 6 = 0

λ = - 2

λ = 3

Esses são os nossos autovalores, determinando os autovetores, que podem ser ortonormalizados:

4 - 2 - 2 1 x y = 0

x y =   V 1

W 1 =   V 1 V 1 = ( 5 5 ,   2 5 5 )

E para o segundo autovalor:

- 1 - 2 - 2 - 4 x y = 0

x y =   V 2

W 2 =   V 2 V 2 = ( - 2 5 5 ,   5 5 )

Dessa forma, podemos dizer que temos:

D = - 2 0 0 3 e P = 5 5 - 2 5 5 2 5 5 5 5

Tal que D = P t A P .

Passo 3

Realizando uma mudança de variável de X = PX’, em que

X ' =   x ' y '

Podemos reescrever

X t A X + K X + 24 = 0

Como

X ' t P t A P X ' + K P X ' + 24 = 0

Dessa forma:

x ' y ' - 2 0 0 3 x ' y ' + 0 0 5 5 - 2 5 5 2 5 5 5 5 x ' y ' + 24 = 0

Realizando as devidas manipulações algébricas e voltando as variáveis para x e y, obtemos, então:

- 2 x 2 + 3 y 2 + 24 = 0

Dividindo por 30:

- x 2 12 + y 2 8 + 1 = 0

Que pode ser escrito como:

- x 2 12 + y 2 8 = - 1

Assim, temos a fórmula de uma hiperbole.

Resposta

Hiperbole.

- x 2 12 + y 2 8 = - 1