Enunciado

Identificar a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizado e fazer um esboço do gráfico.

3 x 2 - 8 x y - 12 y 2 + 81 = 0

Passo 1

E aí, aluno?! Vamos para mais uma questão!

Podemos reescrever a equação como

X t A X + K X + 81 = 0

Tal que

X =   x y

A = 3 - 4 - 4 - 12

K =   0

Passo 2

Calculando o polinômio característico da matriz A:

p(λ) = det ⁡ ( A - λ I 2 ) = det ⁡ 3 - λ - 4 - 4 - 12 - λ =   λ 2 + 9 λ - 52

Igualando a zero e resolvendo:

λ 2 + 9 λ - 52 = 0

λ = - 13

λ = 4

Esses são os nossos autovalores, determinando os autovetores, que podem ser ortonormalizados:

16 - 4 - 4 1 x y = 0

x y =   V 1

W 1 =   V 1 V 1 = ( 17 17 ,   4 17 17 )

E para o segundo autovalor:

- 1 - 4 - 4 - 1 6 x y = 0

x y =   V 2

W 2 =   V 2 V 2 = ( - 4 17 17 ,   17 17 )

Dessa forma, podemos dizer que temos:

D = - 13 0 0 4 e P =   17 17 - 4 17 17 4 17 17   17 17

Tal que D = P t A P .

Passo 3

Realizando uma mudança de variável de X = PX’, em que

X ' =   x ' y '

Podemos reescrever

X t A X + K X + 81 = 0

Como

X ' t P t A P X ' + K P X ' + 81 = 0

Dessa forma:

x ' y ' - 13 0 0 4 x ' y ' + 0 0   17 17 - 4 17 17 4 17 17   17 17 x ' y ' + 81 = 0

Realizando as devidas manipulações algébricas e voltando as variáveis para x e y, obtemos, então:

- 13 x 2 + 4 y 2 + 81 = 0

Dividindo por 81:

- 13 x 2 81 + 4 y 2 81 + 1 = 0

Que pode ser escrito como:

- 13 x 2 81 + 4 y 2 81 = - 1

Assim, temos a fórmula de uma hiperbole.

Resposta

Hiperbole.

- 13 x 2 81 + 4 y 2 81 = - 1