Enunciado

Identificar a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizado e fazer um esboço do gráfico.

6 x 2 + 9 y 2 - 4 x y - 4 5 x - 18 5 y = 5

Passo 1

E aí, aluno?! Vamos para mais uma questão!

Podemos reescrever a equação como

X t A X + K X - 5 = 0

Tal que

X =   x y

A = 6 - 2 - 2 9

K =   - 4 5 - 18 5

Passo 2

Calculando o polinômio característico da matriz A:

p(λ) = det ⁡ ( A - λ I 2 ) = det ⁡ 6 - λ - 2 - 2 9 - λ =   λ 2 - 15 λ + 50

Igualando a zero e resolvendo:

λ 2 - 15 λ + 50 = 0

λ = 5

λ = 10

Esses são os nossos autovalores, determinando os autovetores, que podem ser ortonormalizados:

- 1 - 2 - 2 - 4 x y = 0

x y =   V 1

W 1 =   V 1 V 1 = ( 2 5 5 ,   5 5 )

E para o segundo autovalor:

- 4 - 2 - 2 - 1 x y = 0

x y =   V 2

W 2 =   V 2 V 2 = ( - 5 5 ,   2 5 5 )

Dessa forma, podemos dizer que temos:

D = 5 0 0 10 e P = 2 5 5 - 5 5 5 5 2 5 5

Tal que D = P t A P .

Passo 3

Realizando uma mudança de variável de X = PX’, em que

X ' =   x ' y '

Podemos reescrever

X t A X + K X - 5 = 0

Como

X ' t ( P t A P ) X ' + K P X ' - 5 = 0

Dessa forma:

x ' y ' 5 0 0 10 x ' y ' + - 4 5 - 18 5 2 5 5 - 5 5 5 5 2 5 5 x ' y ' - 5 = 0

Realizando as devidas manipulações algébricas e voltando as variáveis para x e y, obtemos, então:

5 x 2 + 10 y 2 - 26 x - 32 y - 5 = 0

Reescrevendo:

5 x 2 + 10 y 2 - 322 5 = 0

Multiplicando por 5 322 :

25 322 x 2 + 25 161 y 2 - 1 = 0

Que pode ser escrito como:

25 322 x 2 + 25 161 y 2 = 1

Assim, temos a fórmula de uma elipse.

Resposta

Elipse. 25 322 x 2 + 25 161 y 2 = 1