Enunciado

Identificar a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizando e fazer um esboço do gráfico. x 2 - y 2 + 2 3 x y + 6 x = 0

Passo 1

E aí galerinhaaa, blz?

Esse exercício tem por objetivo desenvolver nossas habilidades em encontrar as equações da cônicas...

Veja que a equação x 2 - y 2 + 2 3 x y + 6 x = 0 pode ser escrita como X t A X + K X = 0 tal que X = x y ,   A = 1 3 3 - 1 e K = 6 0 .

Agora, borá lá calcular o polinômio característico da matriz A .

Sabemos que p λ = det ⁡ ( A - λ I 2 ) = det ⁡ 1 - λ 3 3 - 1 - λ = λ 2 - 4 .

Passo 2

Agora, vamos determinar os autovalores e seus autovetores associados.

Perceba que os autovalores são λ 1 = 2 e λ 2 = - 2 . Já os autovetores associados ao autovalor λ 1 = 2 são as soluções não nulas do sistema A - 2 I 2 X =   0 - , ou ainda. - 3 3 3 - 3 x y = 0 0 , cuja solução é V 1 = 3 1 . Já a base ortonormal em relação a V 1 é dada por W 1 = V 1 | V 1 | , isto é, W 1 = √ 3 2 1 2 . E os autovetores associados ao autovalor λ 2 = - 2 são as soluções não nulas do sistema A + 2 I 2 X = 0 , ou ainda. 1 3 3 1 x y = 0 0 , cuja solução é V 2 = - 1 3 1 . Temos que W 2 = V 2 | V 2 | é a base ortonormal de V 2 , ou seja, W 2 = - 1 2 3 2 .

Sabemos que D = P t A P , onde D = λ 1 0 0 λ 2 = - 2 0 0 2 e P = W 1 W 2 = 3 2 - 1 2 1 2 3 2 .

Passo 3

Fazendo uma mudança de variável X = P X ' , onde X ' = x ' y ' na equação X t A X + K X = 0 .

Assim, X ' t P t A P X ' + K P X ' = 0 ⇒ X ' t D X ' + K P X ' = 0 .

Isto é, x ' y ' 2 0 0 - 2 x ' y ' + 6 0 3 2 - 1 2 1 2 3 2 x ' y ' = 0 - .

Obtemos, 2 x ' 2 - 2 y ' 2 + 3 3 x ' - 3 y ' = 0 , ou ainda, 2 x ' + 3 3 4 2 - 2 y ' + 3 4 2 = 9 2 .

Realizando novamente uma mudança de variável, onde x ' ' = x ' + 3 3 4 e y ' ' = y ' + 3 4 , teremos que a equação da cônica é dada por 2 x ' ' 2 - 2 y ' ' 2 = 9 2 , ou ainda na forma padrão temos, 4 x ' ' 2 9 - 4 y ' ' 2 9 = 1 .Perceba que a cônica é uma hipérbole.

Já o gráfico da quádrica é dado por:

Resposta

Cônica: hipérbole;equação: 4 x ' ' 2 9 - 4 y ' ' 2 9 = 1 .