Enunciado

Identificar a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizando e fazer um esboço do gráfico. 8 x 2 + 8 y 2 - 16 x y + 33 2 x - 31 2 y + 70 = 0

Passo 1

E aí galera, blz?

Esse exercício tem por objetivo desenvolver nossas habilidades em encontrar as equações da cônicas a partir da equação de uma quádrica.

Veja que a equação 8 x 2 + 8 y 2 - 16 x y + 33 2 x - 31 2 y + 70 = 0 pode ser escrita como X t A X + K X + 70 = 0 tal que X = x y ,   A = 8 - 8 - 8 8 e K = 33 2 - 31 2 .

Agora, borá lá calcular o polinômio característico da matriz A .

Sabemos que p λ = det ⁡ ( A - λ I 2 ) = det ⁡ 8 - λ - 8 - 8 8 - λ = λ 2 - 16 λ .

Passo 2

Agora, vamos determinar os autovalores e seus autovetores associados.

Perceba que os autovalores são λ 1 = 0 e λ 2 = 16 . Já os autovetores associados ao autovalor λ 1 = 0 são as soluções não nulas do sistema A - 0 I 2 X = 0 - , ou ainda, 8 - 8 - 8 8 x y = 0 0 , cuja solução é V 1 = 1 1 . Temos que W 1 = V 1 | V 1 | é a base ortonormal de V 1 , ou seja, W 1 = 1 2 1 2 . E os autovetores associados ao autovalor λ 1 = 16 são as soluções não nulas do sistema A - 16 I 2 X =   0 - , ou ainda, - 8 - 8 - 8 - 8 x y = 0 0 , cuja solução é V 2 = - 1 1 . Já a base ortonormal em relação a V 2 é dada por W 2 = V 2 | V 2 | , isto é, W 2 = - 1 2 1 2 .

Sabemos que D = P t A P , onde D = λ 1 0 0 λ 2 = 0 0 0 16 e P = W 1 W 2 = 1 2 - 1 2 1 2 1 2 .

Passo 3

Fazendo uma mudança de variável X = P X ' , onde X ' = x ' y ' na equação X t A X + K X + 70 = 0 .

Assim, X ' t P t A P X ' + K P X ' + 70 = 0 ⇒ X ' t D X ' + K P X ' + 70 = 0 .

Isto é, x ' y ' 0 0 0 16 x ' y ' + 33 2 - 31 2 1 2 - 1 2 1 2 1 2 x ' y ' + 70 = 0 - .

Obtemos, 16 y ' 2 + 2 x ' - 64 y ' + 70 = 0 , ou ainda, 16 y ' - 2 2 - 2 x ' + 6 = 0 .

Realizando novamente uma mudança de variável, onde x ' ' = x ' e y ' ' = y ' - 2 , teremos que a equação da cônica é dada por 16 y ' ' 2 + 2 x ' ' + 6 = 0 , ou ainda na forma padrão temos, y ' ' 2 = - 3 8 - x ' ' 8 . Perceba que a cônica é uma parábola.

Já o gráfico da quádrica é dado por:

Resposta

Cônica: parábola; equação: y ' ' 2 = - 3 8 - x ' ' 8 .