In Exercises 23 and 24, mark each statement True or False. Justify each answer.

  1. If x is a nontrivial solution of Ax = 0, then Every entry in x is nonzero.
  2. The equation x   =   x 2 u   +   x 3 v , with x 2 e x 3 free(and neither u nor v a multiple of the Other), describes a plane through the origin.
  3. The equation Ax = b is homogenous if the zero vector is solution.
  4. The effect of adding p to a vector is to move the vector in a Direction parallel to p.
  5. The solution set of Ax = b is obtained by translating the solution set of Ax = 0.

Passo 1

Beleza pessoal, espero que todos estejam bem e dispostos a resolver mais umas atividades. Hoje é dia de Álgebra Linear, espero que gostem da matéria e vamos nós!!!

Vamos as análises.

  1. Esta afirmação é falsa.
  2. Sabemos que a solução não trivial da equação Ax = 0 é um vetor x diferente de zero que satisfaz essa equação. Mas quando dizemos que um vetor é um vetor diferente de zero, queremos dizer que pelo menos uma entrada nesse vetor i diferente de zero.

  3. Considere x 1 - 3 x 2 - 2 x 3   =   0 .   Resolva para a variável básica x 1 em termos de variáveis livres. A solução geral x 1   =   3 x 2   +   2 x 3 , com x 2 e x 3 livres. Como um vetor, a solução geral é
  4. X   =   x 1 x 2 x 3   =   3 x 2   +   2 x 3 x 2 x 3   =   3 x 2 x 2 0   +   2 x 3 0 x 3

    X   =   3 x 2 x 2 0   +   2 x 3 0 x 3

    Este cálculo mostra que cada solução da equação dada é uma combinação linear dos vetores u e v, mostrados na figura. Ou seja, o conjunto solução é um espaço vetorial{u,v}. Como nem u nem v são múltiplos escalares do outro, o conjunto solução é um plano que passa pela origem. Verdadeiro.

    Passo 2

  5. Se o vetor zero é uma solução, então b   =   A   X   =   A   0   = 0 . Portanto, a afirmação é verdadeira
  6. O efeito de adicionar p a um vetor é mover o vetor em uma direção paralela a p. Do Exemplo 3 concluímos que a afirmação é verdadeira.
  7. Observe que A x   =   0 é sempre consistente ( x   =   0 é solução trivial). E se A x = b também for consistente, o conjunto solução de A x   =   b é w   =   p   +   v h , onde v h , é qualquer solução de A x   =   0 ep é solução de A x   =   b . E por enquanto, nossa afirmação é verdadeira. Mas, se A x   =   b não for consistente, então não há solução. Portanto, em geral, a afirmação dada é falsa.

Resposta

  1. Falsa
  2. Verdadeiro
  3. Verdadeiro
  4. Verdadeiro
  5. Falsa