In Exercises 25–28, determine if the specified linear transformation is (a) one-to-one and (b) onto. Justify each answer.

The transformation in Exercise 2

Passo 1

Beleza meus bacanos, vamos começar mais uma resolução de Álgebra Linear, pegue seu lápis, prepare seu café e vamos nessa!!!

  1. sabemos que uma matriz padrão A de transformação linear T é de
  2. A = T e 1 T e 2 T e 2 ,

    Então no nosso caso

    A   =   1 4 - 5 3 - 7 4

    A definição é que T :   R p   →   R q é injetora se cada u em R q for a imagem de no máximo um v em R q .

    A equação Av = u tem uma variável livre porque existem três variáveis e apenas duas variáveis básicas. Teoricamente cada u é uma imagem de mais de um v, então por definição uma transformação linear T não é injetora.

    Passo 2

  3. No Exercício 2, descobrimos que a matriz padrão para T era

A   =   1 4 - 5 3 - 7 4

O Teorema 12 nos diz que T é sobre se e somente se as colunas de A vão em R². O Teorema 4 nos diz que as colunas de A abrangem R² se e somente se A tem uma posição de pivô em cada linha. Portanto, nossa abordagem será reduzir a linha A e determinar se ela tem um pivô em cada linha.

Primeiro subtraia 3 vezes a linha 1 da linha 2 para se livrar do 3 na segunda linha. Então obtemos

A   ~   1 4 - 5 0 - 19 19

Neste ponto, podemos realmente parar: já estamos na forma escalonada, então podemos ver que tanto o 1 na primeira linha quanto o -19 na segunda são pivôs. Assim, cada linha de A tem uma posição de pivô e assim concluímos que A é de fato sobrejetora.

Resposta

  1. A transformação linear T :   R 3   →   R 2 não é injetora
  2. Verdade.