In Exercises 25–28, determine if the specified linear transformation is (a) one-to-one and (b) onto. Justify each answer.
The transformation in Exercise 2
Passo 1
Beleza meus bacanos, vamos começar mais uma resolução de Álgebra Linear, pegue seu lápis, prepare seu café e vamos nessa!!!
- sabemos que uma matriz padrão A de transformação linear T é de
- No Exercício 2, descobrimos que a matriz padrão para T era
Então no nosso caso
A definição é que é injetora se cada u em for a imagem de no máximo um v em
A equação Av = u tem uma variável livre porque existem três variáveis e apenas duas variáveis básicas. Teoricamente cada u é uma imagem de mais de um v, então por definição uma transformação linear T não é injetora.
Passo 2
O Teorema 12 nos diz que T é sobre se e somente se as colunas de A vão em R². O Teorema 4 nos diz que as colunas de A abrangem R² se e somente se A tem uma posição de pivô em cada linha. Portanto, nossa abordagem será reduzir a linha A e determinar se ela tem um pivô em cada linha.
Primeiro subtraia 3 vezes a linha 1 da linha 2 para se livrar do 3 na segunda linha. Então obtemos
Neste ponto, podemos realmente parar: já estamos na forma escalonada, então podemos ver que tanto o 1 na primeira linha quanto o -19 na segunda são pivôs. Assim, cada linha de A tem uma posição de pivô e assim concluímos que A é de fato sobrejetora.
Resposta
- A transformação linear não é injetora
- Verdade.