In Exercises 25–28, determine if the specified linear transformation is (a) one-to-one and (b) onto. Justify each answer.

Passo 1

Beleza pessoal, espero que todos estejam dispostos a aprender um pouco mais de Álgebra Linear hoje, vamos nessa!!!

Nos é dado

T x 1 , x 2 , x 3 = x 1 - 5 x 2 + 4 x 3 , x 2 - 6 x 3

E nossos objetivos são:

  1. Determinar se a transformação linear é injetora
  2. Determinar se a transformação linear é sobrejetora

Passo 2

  1. matriz padrão
  2. A   =   1 - 5 4 0 1 - 6

    É uma matriz 2 x 3. Observe que como n > m (Teorema 8), as colunas são linearmente dependentes, portanto, T não é injetora (Teorema 12).

  3. Observe que a matriz padrão A se reduz a

1 0 - 26 0 1 - 6

Como há um pivô em cada linha, as colunas de A abrangem R 2 (Teorema 4), o que significa que para a transformação dada, cada b em R 2 é a imagem de pelo menos um x em   R 3 . Portanto T é sobrejetora.

Resposta

  1. A transformação não é injetora.
  2. A transformação é sobrejetora.