In Exercises 7–12, describe all solutions of A x   =   0 in parametric vector form, where A is row equivalent to the given matrix.

Passo 1

Beleza meu pessoal que curte estudar livros estrangeiros. Tudo bem com vocês? Espero que sim e quero todos atentos a resolução de hoje, que será bem simples, mas completa.

Primeiro passo é darmos uma olhada para a nossa matriz aumentada

1 - 4 - 2 0 3 - 5 0 0 1 0 0 - 1 0 0 0 0 1 - 4 0 0 0 0 0 0

Passo 2

Realizamos as seguintes operações com a matriz temos que

1 - 4 - 2 0 3 - 5 0 0 1 0 0 - 1 0 0 0 0 1 - 4 0 0 0 0 0 0     R 1 - 3 R 3 → R 3 ,   R 1 + 2 R 2 → R 1     1 - 4 - 2 0 3 - 5 0 0 1 0 0 - 1 0 0 0 0 1 - 4 0 0 0 0 0 0

Teremos então

x 1 - 4 x 2 - 2 x 3 + 7 x 6 = 0 → x 1 = 4 x 2 + 2 x 3 - 7 x 6

x 3 - x 6 = 0 → x 3 = x 6

x 5 - 4 x 6 = x 5 = 4 x 6

x 1 = 4 x 2 + 2 x 6 - 7 x 6 → x 1 = 4 x 2 - 5 x 6

Passo 3

Assim, todas as soluções para Ax = 0 na forma de vetores paramétricos é

x   =   x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6   =   4 x 2 - 5 x 6 x 2 x 3 x 4 4 x 6 x 6 =     4 x 2 x 2 0 0 0 0   +     - 5 x 6 0 x 6 0 4 x 6 x 6 = x 2 4 1 0 0 0 0   +   x 6 - 5 0 1 0 4 1  

x   =   x 2 4 1 0 0 0 0   +   x 6 - 5 0 1 0 4 1

Resposta

x   =   x 2 4 1 0 0 0 0   +   x 6 - 5 0 1 0 4 1