Se n é um inteiro e n 3 - 1 é primo, prove que n = 2 ou n = −1.

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Vamos usar a sugestão que os queridos autores nos passaram no exercício passado, porque esse exercício é similar ao anterior!

Vamos escrever p e fatorar:

p = n 3 - 1

p = n - 1 n 2 + n + 1

Sabemos que um numero primo só pode ser fatorável por 2 valores, 1 e ele mesmo. Então, n – 1 = 1 ou n 2 + n + 1 = 1 .

Passo 2

Agora vamos resolver nossas equações:

Se n - 1 = 1 então n = 2 ⇒ p = 7 , que, de fato, é um número primo.

Se n 2 + n + 1 = 1 entao n = 0   o u   n = - 1 , se n for 0, p seria negativo, logo, não seria primo.

Dessa forma, o número 2 e -1 são os valores possíveis que p pode assumir se sua forma for n 3 - 1 .

Resposta

Demonstração