A interseção das superfícies esféricas x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y - 1 = 0 e x 2 + y 2 + z 2 - 4 z + 1 = 0 é uma circunferência.

  1. Determine uma equação do plano que contém a circunferência e,
  2. determina o centro e o raio da circunferência.

Passo 1

Fala, pessoal! Se você está com dificuldade nessa questão, vem comigo que vai dar bom. Antes de começar a resolver, vamos escrever as equações das duas esferas na forma reduzida:

Primeira esfera:

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y - 1 = 0

x 2 - 4 x + 4 - 4 + y 2 - 2 y + 1 - 1 + z 2 - 1 = 0

( x - 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + z 2 = 6

O centro da primeira esfera é em C 1 = ( 2,1 , 0 ) e o raio é r 1 = 6 .

Segunda esfera:

x 2 + y 2 + z 2 - 4 z + 1 = 0

x 2 + y 2 + z 2 - 4 z + 4 - 4 + 1 = 0

x 2 + y 2 + ( z - 2 ) 2 = 3

O centro da segunda esfera é em C 2 = ( 0,0 , 2 ) e o raio é r 2 = 3 . Agora, podemos começar a resolver a questão.

Passo 2

  1. Para determinar o plano, precisamos do seu vetor normal. Mas, esse vetor normal está na mesma direção que o vetor
  2. C 1 C 2 → = C 2 - C 1 = ( 0,0 , 2 ) - ( 2,1 , 0 ) = ( - 2 , - 1,2 )

    Então, o plano terá a forma

    - 2 x - y + 2 z + d = 0

    Só falta a gente encontrar d . Para isso, temos que usar um ponto que pertença ao plano e substituí-lo na equação do plano para resolver para d . Esse ponto é justamente o centro da circunferência, que vamos calcular no próximo item. Então, vamos resolver o próximo item e depois voltar nesse.

    Passo 3

  3. Para calcular o centro da circunferência e seu raio. A figura abaixo ilustra mais ou menos o que está acontecendo

É possível notar que a distância de interseção d ' será dada por:

r 1 2 = r ' 2 + d ' 2

r 2 2 = r ' 2 + [ d ' - d ( C 1 , C 2 ) ] 2 = r ' 2 + d 2 - 2 d d ' + d ' 2

Agora, vamos subtrair uma equação da outra

r 1 2 - r 2 2 = - d 2 + 2 d d ' ⇒ 2 d d ' = r 1 2 - r 2 2 + d 2

⇒ d ' = r 1 2 -   r 2 2 + d 2 2 d

Nessa equação, a única coisa que falta é descobrir a distância d entre os dois centros. Para isso, calculamos o módulo do vetor C 1 C 2 → = ( - 2 , - 1,2 ) :

d = | C 1 C 2 → | = 4 + 4 + 1 = 3

Então,

d ' = 3 - 6 + 9 6 = 6 6 = 1

A partir dessa distância, podemos obter o raio da circunferência a partir da seguinte equação:

r 1 2   =   d ' 2   + r ' 2 ⇒ r ' 2   = ( 3 ) 2 - ( 1 ) 2   = 3 - 1 = 2

⇒ r ' = 2

Lembrando que C 1 C 2 → = ( - 2 , - 1,2 ) , temos um vetor que sai de C ' até C 1 , que tem o mesmo sentido de C 1 C 2 → , ou seja,   C ' C 1 → = ( - 2 t , - t , 2 t ) e cujo módulo vai ser igual a distância entre C 1 e C ' :

d ' = | C ' C 1 → | ⇒ 4 t 2 + t 2 + 4 t 2 = 1

⇒ 9 t 2 = 1

⇒ 3 t = 1

⇒ t = 1 3

Então, C ' C 1 → = ( - 2 3 , - 1 3 , 2 3 ) . Como C 1 C ' → = C 1 - C ' , então

C ' = - C ' C 1 → + C 1 = - ( - 2 3 , - 1 3 , 2 3 ) + ( 0,0 , 2 ) = ( 2 3 , 1 3 , 4 3 ) .

Passo 3

Agora, vamos voltar rapidinho no item a), onde conseguimos o plano

- 2 x - y + 2 z + d = 0

e substituir o ponto C ' = ( 2 3 , 1 3 , 4 3 ) nessa equação:

- 4 3 - 1 3 + 8 3 + d = 0

⇒ 1 + d = 0

⇒ d = - 1

Assim,

- 2 x - y + 2 z - 1 = 0 ⇒ 2 x + y - 2 z + 1 = 0

Resposta

  1. 2 x + y - 2 z + 1 = 0
  2. r ' = 2 e C ' = ( 2 3 , 1 3 , 4 3 )