7)

Is λ = 4 an eigenvlalue of 3 0 - 1 2 3 1 - 3 4 5 ? If so, find one corresponding eigenvector.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Existem diversas maneiras de verificar se determinado autovalor é da respectiva matriz. Uma delas é verificar todos os autovalores dessa determinada matriz e checar se o dado faz parte dela. Ou simplesmente checar se esse autovalor se encaixa nessa matriz.

Veja que a segunda forma se encaixa melhor.

Passo 2

Assim:

A - λ I x = 0

A - 4 I = 0

3 0 - 1 2 3 1 - 3 4 5 - 4 0 0 0 4 0 0 0 4 = - 1 0 - 1 2 - 1 1 - 3 4 1

Que nos dá o sistema:

- x - z = 0

2 x - y - z = 0

- 3 x + 4 y + z = 0

Onde vemos que:

x = y = - z

Assim fazendo:

x = 1 = y ,   z = - 1

Ficando o autovetor:

v 1 = ( 1,1 - 1 )

Passo 3

Agora basta nos provar que λ = 4 é um autovetor.

Assim:

A - λ I = 0

3 - λ 0 - 1 2 3 - λ 1 - 3 4 5 - λ = 0

3 - λ 2 ( 5 - λ ) - 8   - ( 3 ( 3 - λ ) + 4 ( 3 - λ ) ) = 0

Que nos dá, como uma das soluções, o resultado de:

λ = 4

Assim confirmando que λ = 4 é sim um autovetor e como já achamos o autovetor v 1 = ( 1 , 1 , - 1 )

Resposta

que λ = 4 é sim um autovetor e como já achamos o autovetor v 1 = ( 1,1 , - 1 )