8)

Is λ = 3   na eigenvalue of 1 2 2 3 - 2 1 0 1 1 ? If so, find one corresponding eigenvector.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Existem diversas maneiras de verificar se determinado autovalor é da respectiva matriz. Uma delas é verificar todos os autovalores dessa determinada matriz e checar se o dado faz parte dela. Ou simplesmente checar se esse autovalor se encaixa nessa matriz.

Veja que a segunda forma se encaixa melhor.

Passo 2

Assim:

A - λ I x = 0

A - 3 I = 0

1 2 2 3 - 2 1 0 1 1 - 3 0 0 0 3 0 0 0 3 = - 2 2 2 3 - 5 1 0 1 - 2

Que nos dá o sistema:

- 2 x + 2 y + 2 z = 0

3 x - 5 y + z = 0

y - 2 z = 0

Onde vemos que:

y = 2 z

z = 1 3 x

Se fizermos:

z = 1 → y = 2 ,   x = 3

Assim ficando o autovetor:

v 1 = 3,2 , 1

Passo 3

Agora basta nos provar que λ = 4 é um autovetor.

Assim:

A - λ I = 0

1 - λ 2 2 3 - 2 - λ 1 0 1 1 - λ = 0

1 - λ 2 - 2 - λ + 6 - 1 - λ + 6 1 - λ = 0

Que nos dá, como uma das soluções, o resultado de:

λ = 3

Assim confirmando que λ = 4 3 é sim um autovetor e como já achamos o autovetor v 1 = ( 3 , 2,1 )

Resposta

λ = 4 3 é sim um autovetor e como já achamos o autovetor v 1 = ( 3 , 2,1 )